Principio del diamante

En matemáticas, y particularmente en teoría de conjuntos, el principio del diamante Plantilla:Math ("diamondsuit" en inglés) es un principio combinatorio introducido por Ronald Jensen en 1972, que se cumple en el universo constructible (Plantilla:Math) y que implica la hipótesis del continuo. Jensen extrajo el principio del diamante de su prueba de que el axioma de constructibilidad (Plantilla:Math) implica la existencia de un árbol de Suslin.

Definiciones

El principio del diamante Plantilla:Math dice que existe una secuencia ◊, una familia de conjuntos Plantilla:Math para Plantilla:Math tal que para cualquier subconjunto Plantilla:Math de ω₁ el conjunto de Plantilla:Math con Plantilla:Math es estacionario en Plantilla:Math.

Existen varias formas equivalentes del principio del diamante. Uno afirma que hay una colección contable Plantilla:Math de subconjuntos de Plantilla:Math para cada ordinal contable Plantilla:Math, de modo que para cualquier subconjunto Plantilla:Math de Plantilla:Math hay un subconjunto estacionario Plantilla:Math de Plantilla:Math de modo que para todos los Plantilla:Math en Plantilla:Math se tiene que Plantilla:Math y Plantilla:Math. Otra forma equivalente establece que existen conjuntos Plantilla:Math para Plantilla:Math tales que para cualquier subconjunto Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar hay al menos un Plantilla:Mvar infinito con Plantilla:Mvar.

De manera más general, para un cardinal Plantilla:Math dado y un conjunto estacionario Plantilla:Math, la declaración Plantilla:Math (a veces escrita Plantilla:Math o Plantilla:Math) es la declaración de que existe un sucesión Plantilla:Math tal que

• Cada Plantilla:Math
• Para cada Plantilla:Math, Plantilla:Math es estacionario en Plantilla:Math

El principio Plantilla:Math es el mismo que Plantilla:Math.

El principio del diamante plus Plantilla:Math establece que existe una secuencia Plantilla:Math, en otras palabras, una colección numerable Plantilla:Math de subconjuntos de Plantilla:Math para cada ordinal contable α tal que para cualquier subconjunto Plantilla:Math de Plantilla:Math hay un subconjunto ilimitado cerrado Plantilla:Math de Plantilla:Math, de modo que para todos los Plantilla:Math en Plantilla:Math se tiene que Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Propiedades y uso

Plantilla:Harvtxt demostró que el principio del diamante Plantilla:Math implica la existencia del árbol de Suslin. También demostró que Plantilla:Math implica el principio del diamante plus, que implica el principio del diamante, que a su vez implica la hipótesis del continuo (HC). En particular, el principio del diamante y el principio del diamante plus son ambos independientes de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. También Plantilla:Math implica Plantilla:Math, pero Shelah dio modelos de Plantilla:Math, por lo que Plantilla:Math y Plantilla:Math no son equivalentes (más bien, Plantilla:Math es más débil que Plantilla:Math).

Matet demostró que el principio ${\mathrm{♢}}_{\kappa }$ es equivalente a una propiedad de las particiones de $\kappa$ con intersección diagonal de los segmentos iniciales de las particiones estacionarias en $\kappa$.

El principio del diamante Plantilla:Math no implica la existencia de un árbol de Kurepa, pero el principio Plantilla:Math más fuerte implica tanto el principio Plantilla:Math como la existencia de un árbol de Kurepa.

Plantilla:Harvtxt usó Plantilla:Math para construir un [[C*-álgebra|Plantilla:Math-álgebra]] que sirviera como contraejemplo para el problema de Naimark.

Para todos los cardinales Plantilla:Math y conjuntos estacionarios Plantilla:Math, Plantilla:Math se mantiene en universo constructible. Plantilla:Harvtxt demostró que para Plantilla:Math, Plantilla:Math se deriva de Plantilla:Math para Plantilla:Math estacionario que no contiene ordinales de cofinalidad Plantilla:Math.

Shelah demostró que el principio del diamante resuelve el problema de Whitehead al implicar que cada grupo de Whitehead es libre.

Véase también

• Anexo:Declaraciones independientes de los axiomas de Zermelo-Frankel
• [[Declaraciones verdaderas en L|Declaraciones verdaderas en Plantilla:Mvar]]

Bibliografía

• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite journal