Prismatoide

En geometría, un prismatoide es un poliedro cuyos vértices se encuentran en dos planos paralelos. Sus caras laterales pueden ser trapezoides o triángulos. Si ambos planos tienen el mismo número de vértices, y las caras laterales son paralelogramos o trapezoides, se conocen como prismoides.

Área

Si las áreas de las dos caras paralelas son A₁ y A₃, el área de la sección del prismatoide con plano a mitad de camino entre las dos caras paralelas es A₂, y la altura (la distancia entre las dos caras paralelas) es h, entonces el volumen del prismatoide está dado por:

$V=\frac{h(A_1+4A_2+A_3)}{6}$

(esta fórmula se deduce de integrar el área paralela a los dos planos de vértices mediante la regla de Simpson, ya que esta fórmula es exacta para la integración de polinomios de hasta tercer grado, y en este caso el área es como máximo una función cuadrática de la altura).

En el caso de que las bases del prismatoide y la sección intermedia sean polígonos regulares de n lados cada uno, la fórmula anterior tiene la expresión:

$V=\frac{nh(a^2+4b^2+c^2)}{24\tan (180/n)}$

donde n es el número de lados del polígono regular, a es el lado de una de las bases, b es el lado de la base intermedia, c es el lado de la otra base, y h es la altura del prismatoide.

Comprobar que ambas expresiones son equivalentes es sencillo, sabiendo que el área de un polígono regular de n lados se puede expresar como $A=\frac{n{l}^2}{4\tan (180/n)}$, y que sustituyendo en esta fórmula $l$ por a, b y c, se obtienen A₁, A₂ y A₃.

Familias de prismatoides

Pirámides	Cuñas	Paralelepípedos	Prismas	Antiprismas			Cúpulas	Troncos

• Pirámide, en la cual uno de los planos consiste en un solo punto
• Cuña, en el cual uno de los planos solo contiene dos puntos
• Prisma, cuyos polígonos en cada plano son congruentes y unidos por rectángulos o paralelogramas
• Antiprisma, cuyos polígonos en cada plano son congruentes y unidos por una cinta alternada de triángulos
• Antiprisma cruzado
• Cúpulas, en qué el polígono en un plano contiene el doble de vértices que el otro, y está unido a él por rectángulos y triángulos alternados
• Tronco, obtenido truncando una pirámide
• Prismatoides hexahédricos con caras cuadradas:
  1. Paralelepípedo – seis caras de paralelas o de paralelogramo
  2. Romboedro – seis caras de rombo (caso especial como paralelepípedo oblicuo)
  3. Cuboides – seis caras rectangulares (paso particular del paralelepípedo también llamado paralelepípedo rectangular)
  4. Cubo – seis caras cuadradas (caso particular del ortoedro y del paralelepíoedo, también llamado hexaedro regular)
  5. Trapezoedros trigonales – seis caras congruentes de rombo
  6. Tronco cuadrilátero – una pirámide cuadrada de ápice truncada

Dimensiones superiores

Una cúpula tetraédrica-cuboctaédrica.

En general, un politopo es prismatoidal si sus vértices existen en dos hiperplanos. Por ejemplo, en cuatro dimensiones, dos poliedros pueden colocarse en dos espacios tridimensionales paralelos, y conectados con lados poliédricos.

Véase también

• Prisma

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld