Problema del servilletero

Animación del corte de un servilletero con altura constante.

Si se perfora un agujero cilíndrico de altura h concentricamente en una esfera, el volumen del anillo resultante no depende del tamaño de la esfera. Para una esfera grande, el anillo será muy largo pero también muy delgado.

En geometría, el problema de servilletero implica determinar el volumen de una "banda" de altura especificada alrededor de una esfera, es decir, la parte que queda después de perforar un agujero cilíndrico circular a través del centro de la esfera. Es un hecho contrario a la intuición que este volumen no depende del radio de la esfera original, sino solo de la altura de la banda resultante.

El problema se llama así porque después de vaciar un cilindro de la esfera, la banda restante se asemeja a la forma de un servilletero.

Historia

Un primer estudio de este problema fue descrito por el matemático japonés del sigloPlantilla:EsdXVII Seki Kōwa. Según Plantilla:Harvtxt, Seki llamó a este sólido un anillo de arco, o en japonés kokan o kokwan.

Planteamiento

Supóngase que el eje de un cilindro pasa por el centro de una esfera de radio R y que h representa la altura (definida como la distancia en una dirección paralela al eje) de la parte del cilindro que está dentro de la esfera. La "banda" es la parte de la esfera que queda fuera del cilindro. El volumen de la banda depende de h, pero no de R:

$V=\frac{\pi h^3}{6}.$

A medida que el radio R de la esfera se reduce, el diámetro del cilindro también debe reducirse para que h permanezca igual. La banda se vuelve más gruesa, y esto aumenta su volumen. Pero también se acorta el perímetro de la circunferencia, y esto disminuye su volumen. Los dos efectos se anulan mutuamente. En el caso extremo de la esfera más pequeña posible, el cilindro desaparece (su radio se vuelve cero) y la altura h es igual al diámetro de la esfera. En este caso, el volumen de la banda es el volumen de la esfera completa, que coincide con la fórmula dada anteriormente.

Demostración

Supóngase que el radio de la esfera es $R$ y la altura del orificio cilíndrico es $h$.

Por el Teorema de Pitágoras, el radio del cilindro es

Determinación de las dimensiones del anillo según una sección transversal vertical dada por el centro de la esfera.

$\sqrt{R^2-{\left(\frac{h}{2}\right)}^2},(1)$

y el radio de la sección transversal horizontal de la esfera a la altura y,, sobre el "ecuador" de la esfera es

$\sqrt{R^2-y^2}.(2)$

La sección transversal de la banda con el plano horizontal a la altura y, es la región en forma de anillo (vista desde arriba) que queda situada dentro del círculo más grande de radio dado por (2) y fuera del círculo más pequeño de radio dado por (1). El área de la sección transversal es, por lo tanto, el área del círculo más grande, menos el área del círculo más pequeño:

$\begin{array}{cc}& \pi (\text{radio mayor}{)}^2-\pi (\text{radio menor}{)}^2\\ & =\pi {\left(\sqrt{R^2-y^2}\right)}^2-\pi {\left(\sqrt{R^2-{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}\right)}^2=\pi ({\left(\frac{h}{2}\right)}^2-y^2).\end{array}$

El radio R no aparece en la última cantidad. Por lo tanto, el área de la sección transversal horizontal de altura y, no depende de R, siempre que yPlantilla:Esd≤Plantilla:EsdPlantilla:SfracPlantilla:Esd≤Plantilla:EsdR. El volumen de la banda es

$\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}(\text{área de la sección transversal a la altura y})dy,$

que no depende de R.

El volumen se determina utilizando el principio de Cavalieri: los volúmenes con secciones transversales correspondientes de igual tamaño son iguales. De hecho, el área de la sección transversal es la misma que la correspondiente a la sección transversal de una esfera de radio h/2, que tiene volumen

$\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{h}{2}\right)}^3=\frac{\pi h^3}{6}.$

Véase también

• Cálculo visual, una forma intuitiva de resolver este tipo de problema, originalmente aplicado para encontrar el área de una corona circular, dada solo la longitud de su cuerda.
• Cuerda que rodea la Tierra, otro problema donde la variación del radio de una esfera o de un círculo es contraria a la intuición.

Bibliografía

Un servilletero pirografiado con forma de anillo esférico.

• Plantilla:Citation
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• Plantilla:Citation El problema 132 pregunta por el volumen de una esfera con un agujero cilíndrico perforado a través de él, pero no nota la invariancia del problema bajo cambios de radio.
• Plantilla:Citation. Levi argumenta que el volumen depende únicamente de la altura del orificio en función del hecho de que el anillo puede ser barrido por medio disco con la altura como su diámetro.
• Plantilla:Citation. Reimpresión de la edición de 1935. Un problema en la página 101 describe la forma formada por una esfera con un cilindro eliminado como un "anillo de servilleta" y pide una prueba de que el volumen es el mismo que el de una esfera con un diámetro igual a la longitud del agujero.
• Plantilla:Citation. Reimpresión de la edición de 1954.
• Plantilla:Citation. Reeditado por Dover, 2004, Plantilla:ISBN. Smith y Mikami discuten el problema del anillo de servilleta en el contexto de dos manuscritos de Seki sobre la medición de sólidos, "Kyuseki" y "Kyuketsu Hengyo So".

Enlaces externos

• Plantilla:Mathworld