Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector $𝐯$ y su proyección sobre otro vector $𝐮$ , es perpendicular al vector $𝐮$ .^[1] Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Interpretación geométrica

En el espacio euclídeo $ℝ^{3}$ con el producto escalar usual definido, se propone un método para encontrar un sistema de vectores, perpendiculares entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios cualesquiera. Sean $𝐯_{1}, 𝐯_{2}, 𝐯_{3} \in ℝ^{3}$ dichos vectores.

El método consiste de dos proyecciones. La base ortogonal de $ℝ^{3}$ compuesta por $𝐮_{1}, 𝐮_{2}, 𝐮_{3}$ , se calcula de la siguiente manera.

Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo, $𝐮_{1} = 𝐯_{1}$ .
$𝐮_{2}$ se calcula como la diferencia entre $𝐯_{2}$ y el vector que resulta de proyectar a $𝐯_{2}$ sobre $𝐮_{1}$ . Dicha diferencia es perpendicular a $𝐮_{1}$ . Es equivalente afirmar que $𝐮_{2}$ es la diferencia entre $𝐯_{2}$ y el vector que resulta de proyectar a $𝐯_{2}$ sobre la recta que genera $𝐮_{1}$ .
$𝐮_{3}$ es la diferencia entre $𝐯_{3}$ y el vector que resulta de proyectar a $𝐯_{3}$ sobre el plano generado por $𝐮_{1}$ y $𝐮_{2}$ . La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.

Esta sencilla interpretación del algoritmo para un caso que puede verse es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos. Dicha generalización no es otra que el proceso de Gram-Schmidt.

Descripción del algoritmo de ortogonalización de Gram–Schmidt

El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclídea.

En primer lugar tenemos que:

𝐯 - \frac{⟨ 𝐯, 𝐮 ⟩}{⟨ 𝐮, 𝐮 ⟩} 𝐮 = 𝐯 - {p r o y}_{𝐮} (𝐯)

Es un vector ortogonal a $𝐮$ . Entonces, dados los vectores $𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n}$ , se define:

	$𝐮_{1} = 𝐯_{1},$
	$𝐮_{2} = 𝐯_{2} - \frac{⟨ 𝐯_{2}, 𝐮_{1} ⟩}{⟨ 𝐮_{1}, 𝐮_{1} ⟩} 𝐮_{1},$
	$𝐮_{3} = 𝐯_{3} - \frac{⟨ 𝐯_{3}, 𝐮_{1} ⟩}{⟨ 𝐮_{1}, 𝐮_{1} ⟩} 𝐮_{1} - \frac{⟨ 𝐯_{3}, 𝐮_{2} ⟩}{⟨ 𝐮_{2}, 𝐮_{2} ⟩} 𝐮_{2},$ Generalizando en k:
	$𝐮_{k} = 𝐯_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{⟨ 𝐯_{k}, 𝐮_{j} ⟩}{⟨ 𝐮_{j}, 𝐮_{j} ⟩} 𝐮_{j}$

A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectores $𝐮_{1}, \dots, 𝐮_{n}$ es ortogonal.

Plantilla:Teorema

Plantilla:Demostración

Plantilla:Teorema

Plantilla:Demostración

Los conjuntos así definidos satisfacen la siguiente relación. Plantilla:Teorema

Para obtener una base ortonormal a partir de $ℰ$ , basta con dividir entre la norma de cada vector de la base hallada: $𝐞_{k} = \frac{𝐮_{k}}{| | 𝐮_{k} | |} = \frac{𝐮_{k}}{\sqrt{⟨ 𝐮_{k}, 𝐮_{k} ⟩}}$

Ejemplos

Dada $ℬ = {𝐯_{1}, 𝐯_{2}}$ una base de $ℝ^{2}$ definida por Plantilla:Ecuación mediante el proceso de Gram-Schmidt es posible construir una base ortogonal $ℰ = {𝐮_{1}, 𝐮_{2}}$ con respecto al producto interno usual de $ℝ^{2}$ . Plantilla:Ecuación Se calculan los vectores u₁ y u₂ a partir de las fórmulas. Plantilla:Ecuación nótese que Plantilla:Ecuación de hecho, dado cualquier vector $(a, b) \in ℝ^{2}$ y $\forall α \in ℝ$ se cumple Plantilla:Ecuación
Sea $ℬ = {𝐯_{1}, 𝐯_{2}, 𝐯_{3}}$ el sistema definido por Plantilla:Ecuación Aplicamos el proceso, seleccionamos por ejemplo Plantilla:Ecuación y calculamos Plantilla:Ecuación luego Plantilla:Ecuación Análogamente se sigue para u₃ que ${\begin{matrix} {proy}_{𝐮_{1}} (𝐯_{3}) & = & [\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}] \\ {proy}_{𝐮_{2}} (𝐯_{3}) & = & [\begin{matrix} - \frac{24}{7} \\ - \frac{16}{7} \\ \frac{64}{7} \end{matrix}] \\ 𝐮_{3} = 𝐯_{3} - {proy}_{𝐮_{1}} (𝐯_{3}) - {proy}_{𝐮_{2}} (𝐯_{3}) & = & [\begin{matrix} \frac{10}{7} \\ - \frac{19}{7} \\ - \frac{1}{7} \end{matrix}] \end{matrix}$ finalmente se obtiene $ℰ = {𝐮_{1}, 𝐮_{2}, 𝐮_{3}} = {[\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 8 \end{matrix}], [\begin{matrix} \frac{10}{7} \\ - \frac{19}{7} \\ - \frac{1}{7} \end{matrix}]}$ que es una base ortogonal de R³ con respecto al producto escalar canónico.

Descripción formal

Una manera de expresar el algoritmo explícitamente es a través de pseudocódigo. Se construye, para ello, una función con las siguientes características.

Tiene como entrada un conjunto $ℬ$ no vacío de vectores linealmente independientes.
Recibe dos instrucciones iterativas anidadas.
1. Una estructura para cada, que asigna a v un vector de la entrada, por cada iteración.
2. Una estructura mientras, que asigna a u el vector ortogonal a todos los u calculados en las iteraciones previas.
En cada iteración, se ejecutan las funciones
1. Proy, la cual calcula la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Se define matemáticamente como sigue.
  $Proy : V \times V ⟶ V, Proy (v_{1}, v_{2}) = (\frac{⟨ v_{1}, v_{2} ⟩}{{‖ v_{2} ‖}^{2}}) v_{2}$ donde V es un espacio vectorial.
2. obtener, como su nombre lo indica, obtiene el elemento de un conjunto dado su ordinal.
Devuelve finalmente un conjunto $ℰ$ de vectores ortogonales.

Plantilla:Algoritmo

Para obtener una base ortonormal, basta normalizar los elementos de $ℰ$ .