Productorio

Letra pi mayúscula, notación del productorio.

El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria, producto o infrecuentemente pitatoria o pitatorio (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).

Notación

La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Para todos los valores m < n

$\prod _{k=m}^n{a}_k=a_m\cdot a_{m+1}\cdot \dots \cdot a_n$

Si m = n tenemos que:

$m=n,\prod _{k=m}^n{a}_k=\prod _{k=m}^m{a}_k=a_m$

En el caso de que m sea mayor que n, m > n, se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:

$m>n,\prod _{k=m}^n{a}_k=1$

Se puede definir por inducción como sigue.

1. Se define

$\prod _{k=1}^1{a}_k=a_1$

2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

$\prod _{k=1}^{n+1}{a}_k=\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)a_{n+1}$

Ejemplo

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:

$\prod _{k=1}^2{a}_k=\left(\prod _{k=1}^1{a}_k\right)(a_2)=a_1{a}_2$.

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

$\prod _{k=1}^3{a}_k=\left(\prod _{k=1}^2{a}_k\right)(a_3)=(a_1{a}_2)a_3$.

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto $\mathit{(}{𝑎}_1{𝑎}_2\mathit{)}{𝑎}_3$ es el mismo que ${𝑎}_1\mathit{(}{𝑎}_2{𝑎}_3\mathit{)}$ y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

$a_1{a}_2{a}_3=\prod _{k=1}^3{a}_k$.

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier $n\in \mathbb{N}$ sin que haya peligro de confusión.

Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n! (n factorial) como sigue:

$\prod _{k=1}^{n}k=n!$

Se define $0!=1!=1$

Propiedades

Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa

$\prod _{k=1}^n(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^n{b}_k\right)$

Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

$\prod _{k=1}^1(a_k{b}_k)=a_1{b}_1=\left(\prod _{k=1}^1{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^1{b}_k\right)$

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=\left[\prod _{k=1}^n(a_k{b}_k)\right](a_{n+1}{b}_{n+1})$

$\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^n{b}_k\right)a_{n+1}{b}_{n+1}$

(Definición por inducción)

$\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=[\left(\prod _{k=1}^n{a}_k\right)(a_{n+1})][\left(\prod _{k=1}^n{b}_k\right)(b_{n+1})]$

(Asociatividad en IR) Luego,

$\prod _{k=1}^{n+1}(a_k{b}_k)=\left(\prod _{k=1}^{n+1}{a}_k\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}{b}_k\right)$

Propiedad Telescópica

$\prod _{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_n}{a_0},\text{si cada}{a}_k\ne 0$

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

$\prod _{k=1}^1\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_1}{a_0},\text{con:}{a}_0\ne 0\text{y la igualdad es cierta para:}n=1$

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod _{k=1}^{n+1}\frac{a_k}{a_{k-1}}=\left(\prod _{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k-1}}\right)\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$ (Definición por inducción)

Luego,

$\prod _{k=1}^{n+1}\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_n}{a_0}\frac{a_{n+1}}{a_n}$

que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada $𝑘$, $a_k\ne 0$. En particular, para $𝑘\mathit{=}𝑛$, $a_k=a_n\ne 0$. Luego la simplificación es posible y

$\prod _{k=1}^{n+1}\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_0}$.

Véase también

• Sumatorio
• Factorial
• Suma
• Multiplicación
• Coproducto (teoría de categorías)
• Número π

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld