Progresión armónica (matemática)

En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos.

Definición

Dados tres números m, n, p se dice que están en razón armónica si $\frac{m}{p}=\frac{m-n}{n-p}$.

Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica.

Ejemplos

• 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...

• Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... donde n es un entero positivo.

la serie $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ es divergente cuando n tiene a infinito, aunque

el término general 1/n tiende a 0, cuando n tiende a infinito.

Proposición

Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica.

Prueba

Se tiene $\frac{m}{p}=\frac{m-n}{n-p}$

de donde $m(n-p)=p(m-n)$

dividiendo cada término por mnp

$\frac{1}{p}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}$ lo que demuestra la proposición.

Media armónica

Sean m y n dos números y H su media armónica, por lo demostrado (donde "m" es el número mayor y ·"n"· el número menor):

$\frac{1}{H}-\frac{1}{m}=\frac{1}{n}-\frac{1}{H}$

O sea

$\frac{2}{H}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$

Finalmente

$H=\frac{2mn}{m+n}$

Propiedad

Si A, G, H son las medias aritmética, geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica.

Esto es $::A:G::G:H$ o bien $\frac{A}{G}=\frac{G}{H}$

La media armónica de m y n es $H=\frac{2mn}{m+n}$, que se puede escribir

$H=\frac{mn}{\frac{m+n}{2}}$, o de otra manera $H=\frac{(\sqrt{mn}{)}^2}{\frac{m+n}{2}}$ (α)

De otro lado $G=\sqrt{mn}$ y $A=\frac{m+n}{2}$ en (α) se tiene

$H=\frac{G^2}{A}$ , de donde se obtiene $A\cdot H=G^2$, con lo que se prueba la relación

Véase también

• Progresión aritmética
• Progresión geométrica