Puente browniano

Un puente browniano es un proceso estocástico a tiempo continuo $X_t$ (en ocasiones denotado por $B_t$) construido a partir del proceso de Wiener (modelo matemático del movimiento browniano).

Puente Browniano Estándar

Definición

Un puente browniano estándar es un proceso estocástico a tiempo continuo$\{X_t:t\in [0,1]\}$ con espacio de estados $S=ℝ$ que satisface

1. $X_0=X_1=0$.
2. $\{X_t:t\in [0,1]\}$ es un proceso Gaussiano.
3. $\mathrm{E}[X_t]=0$ para $t\in [0,1]$.
4. $\mathrm{Cov}(X_t,X_s)=\min \{s,t\}-st$ para $s,t\in [0,1]$.

Construcción del puente browniano estándar

El puente browniano estándar se puede construir de distintas maneras a partir del proceso de Wiener considerando los siguientes teoremas:

Teorema

Sean $\{W_t:t\ge 0\}$ un proceso de Wiener estándar y $X_t=W_t-t{W}_1$ para $t\in [0,1]$ entonces el proceso estocástico $\{X_t:t\in [0,1]\}$ es un puente browniano.

Teorema

Sea $\{W_t:t\ge 0\}$ un proceso de Wiener estándar, se definen $X_1=0$ y

$X_t=(1-t)W\left(\frac{t}{1-t}\right)$

para $t\in [0,1]$ entonces $\{X_t:t\in [0,1]\}$ es un puente browniano.

Teorema

Sea $\{W_t:t\ge 0\}$ un proceso de Wiener estándar, se definen $X_1=1$ y

$X_t=(1-t)\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{1-s}d{X}_t$

para $t\in [0,1]$ entonces $\{X_t:t\in [0,1]\}$ es un puente browniano, en forma diferencial, este proceso puede ser escrito como

$d{X}_t=\frac{X_t}{1-t}dt+d{X}_t$

con $X_0=0$.

Véase también

• Proceso estocástico
• Movimiento browniano
• Proceso de Wiener
• Movimiento browniano geométrico

Referencias

• Glasserman, Paul (2004). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Continuos Martingales and Brownian Motion (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.