R4 exótico
En matemáticas, una estructura exótica de es una estructura de variedad diferenciable que es homeomorfa, pero no difeomorfa al espacio euclídeo Los primeros ejemplos fueron encontrados en 1982 por Michael Freedman y otros, al utilizar el contraste entre los teoremas de Freedman sobre las 4-variedades topológicas, y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4-variedades suaves.[1][2] Existe un continuo de estructuras diferencibles no difeomorfas a como demostró primero Clifford Taubes.[3]
Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras diferenciables no difeomorfas sobre n-esferas, esferas exóticas, aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera seguía siendo un problema abierto (y sigue siendolo en la actualidad). Para cualquier número entero positivo n que no sea 4, no existen estructuras diferenciables exóticas en en otras palabras, si n ≠ 4, entonces cualquier variedad diferenciable homeomorfa a es difeomorfa a [4]
R4 exóticos pequeños
Un exótico se llama pequeño si se puede incrustar suavemente como un subconjunto abierto de la estructura ordinaria de . Los exóticos pequeños pueden construirse partiendo de un h-cobordismo suave y no trivial de 5 dimensiones (que existe por la prueba de Donaldson de que el teorema de que el h-cobordismo falla en esta dimensión) y utilizando el teorema de Freedman de que el teorema del h-cobordismo topológico se cumple en esta dimensión.
R4 exóticos grandes
Un exótico se llama grande si no puede ser encajado de manera suave como un subconjunto abierto del estándar. Se pueden construir ejemplos de exóticos grandes utilizando el hecho de que los 4manifolds compactos a menudo pueden dividirse como una suma topológica (por el trabajo de Freedman), pero no pueden dividirse como una suma suave (por el trabajo de Donaldson).
Plantilla:Cita libro demostró que existe un exótico máximo en el que todos los demás pueden ser embebidos suavemente como subconjuntos abiertos.
Estructuras exóticas relacionadas
Los asideros de Casson son homeomorfos a por el teorema de Freedman (donde es el disco unitario cerrado) pero se deduce del teorema de Donaldson que no todos son difeomorfos a . En otras palabras, algunos asideros de Casson son exóticos
No se sabe (a fecha de 2022) si existen o no 4 esferas exóticas; una 4 esfera exótica de este tipo sería un contraejemplo a la conjetura de Poincaré generalizada suave en dimensión 4. Algunos candidatos plausibles vienen dados por Gluck twists.