Reducción de orden

En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones ($y_1$) es conocida y se busca la segunda ($y_2$).

Uso

Dada una ecuación diferencial

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=0$

y una sola solución ($y_1(t)$), y sea la segunda solución definida por

$y_2=v(t)y_1(t)$

donde $v(t)$ es una función arbitraria. Así,

${y_2}^{\prime }=v^{\prime }(t)y_1(t)+v(t){y_1}^{\prime }(t)$

y

${y_2}^{″}=v^{″}(t)y_1(t)+2v^{\prime }(t){y_1}^{\prime }(t)+v(t){y_1}^{″}(t).$

Si se sustituyen por $y$, $y^{\prime }$, y $y^{″}$ a la ecuación diferencial, entonces

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }+({y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t))v=0.$

Como $y_1(t)$ es solución de la ecuación diferencial original, ${y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t)=0$, se puede reducir a

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }=0$

que es una ecuación diferencial de primer orden por $v^{\prime }(t)$. Dividiendo por $y_1(t)$, se obtiene

$v^{″}+(\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))v^{\prime }=0$

y $v^{\prime }(t)$ se puede encontrar utilizado el método general:

$v^{\prime }(t)=C_1\frac{1}{y_1^2(t)}{e}^{-\int p(t)dt}$

Una vez se ha encontrado $v^{\prime }(t)$, se integra y se sustituye a la ecuación original por $y_2$:

$y_2=v(t)y_1(t).$

Referencias

• (en inglés) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
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