Reglas de derivación

Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.

Reglas elementales de diferenciación

A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ($ℝ$) que regresan valores reales, es decir, $f:ℝ\to ℝ$.

La diferenciación es lineal

Para cualesquiera funciones $f$ y $g$, y cualesquiera números reales $a$ y $b$, la derivada de la función $h(x)=af(x)+bg(x)$ con respecto a $x$ es

$h^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x).$

en la notación de Leibniz esto se escribe como:

$\frac{d(af+bg)}{dx}=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}.$

Casos especiales incluyen:

• La regla del producto por una constante

$(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }$

• La regla de suma

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

• La regla de la resta

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$

La regla de producto

Para las funciones $f$ y $g$, la derivada de la función $h(x)=f(x)g(x)$ con respecto a $x$ es

$h^{\prime }(x)=(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$

En la notación de Leibniz esto se escribe como

$\frac{d(fg)}{dx}=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}.$

La regla de cadena

La derivada de la función $h(x)=f(g(x))$ es

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

En la notación de Leibniz esto se escribe como:

$\frac{d}{dx}h(x)=\frac{d}{dz}f(z){|}_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),$

a menudo abreviado a

$\frac{dh(x)}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}.$

La regla de la función inversa

Si la función $f$ tiene como función inversa $g$, esto es, $g(f(x))=x$ y $f(g(y))=y$ entonces

$g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ g}.$

En Leibniz notación esto se escribe como

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}.$

Leyes de potencias, polinomios, cocientes y reciproco

La regla de la potencia

Si $f(x)=x^r$, para cualquier número real $r\ne 0,$ entonces

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}.$

cuando $r=1,$ esto se convierte en el caso especial que si $f(x)=x$ entonces $f^{\prime }(x)=1.$

Combinar la regla de la potencia con la suma y la regla del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La regla recíproca

La derivada de $h(x)=\frac{1}{f(x)}$ para cualquier función $f$ es:

$h^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}$

siempre que $f(x)\ne 0$ para toda $x\in ℝ$.

En la notación de Leibniz esto se escribe como

$\frac{d(1/f)}{dx}=-\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.$

La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.

La regla de cociente

Si $f$ y $g$ son funciones entonces:

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}$

siempre que $g\ne 0$.

Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.

Regla de la potencia generalizada

La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones $f$ y $g$

$(f^g{)}^{\prime }=\left(e^{g\ln f}\right)=f^g(f^{\prime }\frac{g}{f}+g^{\prime }\ln f),$

como casos especiales se tiene

• Si $f(x)=x^a$ entonces $f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$ cuando $a\ne 0$ es un número real cualquiera y $x$ es positivo.
• La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando $g(x)=-1$.

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

$\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right)=a{c}^{ax}\ln c,c>0$

la ecuación de arriba es válida para todo $c$, pero la derivada para $c<0$ obtiene un número complejo.

$\frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right)=a{e}^{ax}$

$\frac{d}{dx}\left({\log }_{c}x\right)=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1$

la ecuación de arriba también es válida para todo $c$ pero se obtiene un número complejo si $c<0$.

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},x>0.$

$\frac{d}{dx}(\ln |x|)=\frac{1}{x},x\ne 0.$

$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)=x^x(1+\ln x).$

$\frac{d}{dx}(f(x{)}^{g(x)})=g(x)f(x{)}^{g(x)-1}\frac{df}{dx}+f(x{)}^{g(x)}\ln (f(x))\frac{dg}{dx},\text{if }f(x)>0,\text{ y si }\frac{df}{dx}\text{ y }\frac{dg}{dx}\text{ existen.}$

$\frac{d}{dx}(f_1(x{)}^{f_2(x{)}^{{(...)}^{f_n(x)}}})=\left[\sum _{k=1}^n\frac{\partial }{\partial x_k}(f_1(x_1{)}^{f_2(x_2{)}^{{(...)}^{f_n(x_n)}}})\right]{|}_{x_1=x_2=...=x_n=x},\text{ si }{f}_{i<n}(x)>0\text{ y }$ $\frac{d{f}_i}{dx}\text{ existe. }$

Derivadas logarítmicas

La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$

cuando $f$ es positiva.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.

Derivadas de funciones trigonométricas

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$	$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\tan x\sec x$	$(\mathrm{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\cot x\csc x$	$(\mathrm{arccsc}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

Derivadas de funciones hiperbólicas

$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arsinh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arcosh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\tanh x{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}x$	$(\mathrm{artanh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$
$(\coth x{)}^{\prime }=-{\mathrm{csch}}^{2}x$	$(\mathrm{arcoth}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$
$(\mathrm{sech}x{)}^{\prime }=-\tanh x\mathrm{sech}x$	$(\mathrm{arsech}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$(\mathrm{csch}x{)}^{\prime }=-\coth x\mathrm{csch}x$	$(\mathrm{arcsch}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

Derivadas de funciones especiales

Función gamma$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$ ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\ln tdt$ $=\mathrm{\Gamma }(x)(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{x+n})-\frac{1}{x})$ $=\mathrm{\Gamma }(x)\psi (x)$ con $\psi (x)$ siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de $\mathrm{\Gamma }(x)$.

Función de Zeta del Riemann$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$ ${\zeta }^{\prime }(x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots$ $=-\sum _{p\text{ prime}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{ prime},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}$

Derivadas de integrales

Supone que se requiere derivar con respetar a $x$ la función

$F(x)=\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt,$

donde las funciones $f(x,t)$ y $\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)$ son ambas continuas en $t$ y en $x$ en alguna del plano $(t,x)$, incluyendo $a(x)\le t\le b(x),$ $x_0\le x\le x_1$ y las funciones $a(x)$ y $b(x)$ son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para $x_0\le x\le x_1$ entonces para:$x_0\le x\le x_1$:

$F^{\prime }(x)=f(x,b(x))b^{\prime }(x)-f(x,a(x))a^{\prime }(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$

esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.

Derivadas de $n$-ésimo orden

Algunas reglas existen para calcular la $n$-ésima derivada de una función, donde $n$ es un entero positivo. Estas incluyen:

Fórmula de Faà di Bruno

Si $f$ y $g$ son $n$ veces diferenciables entonces

$\frac{d^n}{d{x}^n}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_m\}}^{}{f}^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^n\frac{1}{k_m!}{(g^{(m)}(x))}^{k_m}$

donde $r=\sum _{m=1}^{n-1}{k}_m$ y el conjunto $\{k_m\}$ consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine $\sum _{m=1}^{n}m{k}_m=n$.

Regla general de Leibniz

Si $f$ y $g$ son $n$ veces diferenciables entonces

$\frac{d^n}{d{x}^n}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{d^{n-k}}{d{x}^{n-k}}f(x)\frac{d^k}{d{x}^k}g(x)$

Véase también

• Función diferenciable
• Diferencial de una función
• Lista de funciones matemáticas
• Funciones trigonométricas
• Funciones trigonométricas inversas
• Funciones hiperbólicas
• Funciones hiperbólicas inversas