Relaciones de Cardano-Vieta

Sea el polinomio $P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\mathrm{...}+a_k{z}^k$ perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces $z_1,z_2,z_3,\mathrm{...},z_k$ (pertenecientes a C ), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :

$z_1\ast z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}\ast z_k=(-1{)}^k\ast \frac{a_0}{a_k}$

$z_1\ast z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}\ast z_{k-1}+\mathrm{...}+z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}{z}_k=(-1{)}^{k-1}\ast \frac{a_1}{a_k}$

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$z_1\ast z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}\ast z_j+\mathrm{...}+z_{k-j+1}\ast z_{k-j+2}\ast \mathrm{...}{z}_k=(-1{)}^j\ast \frac{a_{k-j}}{a_k}$

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$z_1\ast z_2+z_1\ast z_3+\mathrm{...}+z_{k-1}\ast z_k=(-1{)}^2\ast \frac{a_{k-2}}{a_k}=\frac{a_{k-2}}{a_k}$

$z_1+z_2+z_3+\mathrm{...}+z_k=\frac{(-1{)}^1\ast a_{k-1}}{a_k}=-\frac{a_{k-1}}{a_k}$

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).

Demostración

Factorizamos el polinomio:

$P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\mathrm{...}+a_k{z}^k=a_k(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)\cdots (z-z_k)$

Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término $z^j$, donde $0\le j<k$:

$a_{k-1}=(-1{)}^1\ast a_k\ast (z_1+z_2+z_3+\mathrm{...}+z_k)$

$a_{k-2}=(-1{)}^2\ast a_k\ast (z_1\ast z_2+z_1\ast z_3+\mathrm{...}+z_{k-1}\ast z_k)$

$\dots$

$a_j=(-1{)}^{k-j}\ast a_k\ast (z_1\ast z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}\ast z_j+\mathrm{...}+z_{k-j+1}\ast z_{k-j+2}\ast \mathrm{...}{z}_k)$

$\dots$

$a_1=(-1{)}^{k-1}\ast a_k\ast (z_1\ast z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}\ast z_{k-1}+\mathrm{...}+z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}{z}_k)$

$a_0=(-1{)}^k\ast a_k\ast (z_1\ast z_2\ast z_3\ast \mathrm{...}\ast z_k)$

De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.