Representación adjunta

En matemáticas, la representación adjunta (o acción adjunta) de un grupo de Lie $G$ es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo, considerado como un espacio vectorial. Por ejemplo, si $G$ es $GL(n,ℝ)$ el grupo de Lie de matrices invertibles reales n por n, entonces la representación adjunta es$e$ el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n por n, siendo $g$ un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de ${ℝ}^n$ definido por $x\mapsto gx{g}^{-1}$.

Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de $G$ sobre sí mismo mediante conjugación. La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios.

Definición

Sea G un grupo de Lie y sea

$\mathrm{\Psi }:G\to Aut(G)$

ser el mapeo $g\to {\mathrm{\Psi }}_g$ con Aut(G) el grupo de automorfismo de $G$ y ${\mathrm{\Psi }}_g:G\to G$ dado por el automorfismo interno (conjugación)

${\mathrm{\Psi }}_g(h)=gh{g}^{-1}$

Este $\mathrm{\Psi }$ es un homomorfismo de grupo de Lie.

Para cada $g$ en $G$, definido $A{d}_g$ siendo la derivada de ${\mathrm{\Psi }}_g$ en el origen:

$A{d}_g=(d{\mathrm{\Psi }}_g{)}_e:T_{e}G\to T_{e}G$

donde $d$ es el diferencial de $g=T_{e}G$ es el espacio tangente al origen $e$ ($e$ siendo la identidad del elemento del grupo $G$). Desde ${\mathrm{\Psi }}_g$ es un automorfismo del grupo Lie, $A{d}_g$ es un Automorfismo álgebra de Lie; una invertible aplicación lineal de $g$ el mismo conserva el Álgebra de Lie. Además, desde que $g\to {\mathrm{\Psi }}_g$ es un grupo homomorfismo, $g\to A{d}_g$ también es un homomorfismo de grupo. Por lo tanto, el mapa

$Ad:G\to Aut(𝐠),g\to A{d}_g$

es un representación de grupo llamado el representación adjunta de $G$.

Si $G$ es una Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie del grupo general $G{L}_n(ℂ)$ (llamado grupo de Lie lineal inmenso), entonces la álgebra de Lie $\mathbf{\text{g}}$ consiste en matrices y de Aplicación exponencial (teoría de Lie) es la matrix exponencial $\exp (X)=e^x$ para matrices $X$ con peqeñas normas operativas. Nosotroa calcularemos la derivada de ${\mathrm{\Psi }}_g$ de $e$. Para $g$ en $G$ y pequeña $X$ en $𝐠$, la curba $t\to \exp (tX)$ a derivado $X$ a $t=0$, uno entonces obtiene:

Bibliografía

• Fulton William; Joe Harris (1991). Teoría de la representación. Un primer curso. Textos de Posgrado en Matemáticas, Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi: 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN: 978-0-387-97495-8 MR 1153249. OCLC 246650103