Rombo áureo

En geometría, un rombo áureo (también denominado rombo dorado o rombo de oro) se caracteriza porque sus diagonales están en la proporción $\frac{p}{q} = φ$ , donde $φ$ es el número áureo.

Elementos

Los ángulos internos del rombo son

2 \arctan \frac{1}{φ} = \arctan 2 \approx 63.43495

grados

2 \arctan φ = \arctan 1 + \arctan 3 \approx 116.56505

grados, que también es el ángulo diedro del dodecaedro

La longitud del lado del rombo áureo con diagonal corta $q = 1$ es

\begin{matrix} e & = & \frac{1}{2} \sqrt{p^{2} + q^{2}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{1 + φ^{2}} \\ = & \frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} \\ \approx & 0.95106 \end{matrix}

Un rombo áureo con longitud de los lados unidad, tiene longitudes diagonales

\begin{matrix} p & = & \frac{φ}{e} \\ = & 2 \frac{1 + \sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} \\ \approx & 1.70130 \end{matrix}

\begin{matrix} q & = & \frac{1}{e} \\ = & 4 \frac{1}{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} \\ \approx & 1.05146 \end{matrix}

Poliedros

Varios poliedros notables tienen rombos áureos como caras, incluyendo:

Los dos romboedros áureos (con seis caras cada uno)
El dodecaedro de Bilinski (con 12 caras)
El icosaedro rómbico (con 20 caras)
El triacontaedro rómbico (con 30 caras)
El hexacontaedro rómbico no convexo (con 60 caras)

Los primeros cinco de estos son los únicos poliedros convexos con caras de rombos áureos, pero existen infinitos poliedros no convexos que tienen esta forma para todas sus caras.^[1]