Serie de Mercator

En matemáticas, la serie de Mercator o serie de Newton–Mercator es la serie de Taylor del logaritmo natural:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots .$

Escrita utilizando notación sumatorio,

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n.$

La serie converge al logaritmo natural (desplazado en 1) cuando −1 < x ≤ 1.

Historia

La serie fue descubierta, independientemente por Nicholas Mercator, Isaac Newton y Gregory Saint-Vincent. Fue publicada por primera vez por Mercator, en su tratado Logarithmo-technica de 1668.

Derivación

La serie puede ser obtenida del teorema de Taylor, mediante el cálculo inductivo de la n^ésima derivada del ln x en x = 1, comenzando con

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.$

Alternativamente, se puede comenzar con la serie geométrica finita (t ≠ −1)

$1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}$

que da

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t}.$

Se sigue que

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t})dt$

y por integración término a término ,

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{1+t}dt.$

Si −1 < x ≤ 1, el término resto tiende a 0 cuando $n\to \mathrm{\infty }$.

Esta expresión puede ser integrada iterativamente k veces más para obtener

$-x{A}_k(x)+B_k(x)\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},$

donde

$A_k(x)=\frac{1}{k!}\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})x^m\sum _{l=1}^{k-m}\frac{(-x{)}^{l-1}}{l}$

y

$B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x{)}^k$

son polinomios en x.

Casos especiales

Tomando x = 1 en la serie de Mercator se obtiene la serie armónica alternada.

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$

Serie compleja

La serie de potencias compleja

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\cdots$

es la serie de Taylor para -log(1 - z), donde log denota la rama principal del logaritmo complejo. Esta serie precisamente converge para todo número complejo |z| ≤ 1, z ≠ 1. De hecho, se puede ver mediante el criterio de d'Alembert, que esta tiene radio de convergencia igual a 1, por lo tanto, converge absolutamente en todo disco B(0, r) con radio r < 1. Más aún, esta converge en todo disco agujereado $\overline{B(0,1)}\setminus B(1,\delta )$, con δ > 0. Esto es consecuencia inmediata de la identidad algebraica:

$(1-z)\sum _{n=1}^m\frac{z^n}{n}=z-\sum _{n=2}^m\frac{z^n}{n(n-1)}-\frac{z^{m+1}}{m},$

observando que el lado derecho es uniformemente convergente en todo el disco cerrado unidad.

Referencias

• Plantilla:Mathworld
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball

Plantilla:Control de autoridades