Serie hipergeométrica básica

En matemáticas, las series hipergeométricas básicas, o q-series hipergeométricas, son generalizaciones q-análogas de las series hipergeométricas generalizadas, y son a su vez generalizadas por las series hipergeométricas elípticas. Una serie x_n se denomina hipergeométrica si la relación de los términos sucesivos x_n+1/ x_n es una función racional de n. Si la razón de términos sucesivos es una función racional de qⁿ, entonces la serie se denomina serie hipergeométrica básica. El número q se llama base.

La serie hipergeométrica básica ${}_2{\varphi }_1(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)$ fue considerada por primera vez por Eduard Heine en 1846. Se convierte en la serie hipergeométrica $F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)$ en el límite cuando la base $q=1$.

Definición

Hay dos formas de series hipergeométricas básicas, la serie hipergeométrica básica unilateral φ, y la serie hipergeométrica básica bilateral más general ψ. La serie hipergeométrica básica unilateral se define como

${}_j{\varphi }_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_j\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_j;q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k,q;q{)}_n}{((-1{)}^n{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})})}^{1+k-j}{z}^n$

donde

$(a_1,a_2,\dots ,a_m;q{)}_n=(a_1;q{)}_n(a_2;q{)}_n\dots (a_m;q{)}_n$

y

$(a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})$

es el símbolo q-Pochhammer. El caso especial más importante es cuando j = k + 1, que se convierte en

${}_{k+1}{\varphi }_k[\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \dots & a_k& a_{k+1}\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_{k+1};q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k,q;q{)}_n}{z}^n.$

Esta serie se llama balanceada si a₁ ... a_{k + 1} = b₁ ...b_kq. La serie se llama bien equilibrada si a₁q = a₂b₁ = ... = a_{k + 1}b_k y muy bien equilibrada si además a₂ = −a₃ = qa₁^1/2. La serie hipergeométrica básica unilateral es un q-análogo de la serie hipergeométrica ya que

$\underset{q\to 1}{\lim }{}_j{\varphi }_k[\begin{array}{cccc}{q}^{a_1}& q^{a_2}& \dots & q^{a_j}\\ q^{b_1}& q^{b_2}& \dots & q^{b_k}\end{array};q,(q-1{)}^{1+k-j}z]={}_j{F}_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_j\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};z]$

se cumple (Plantilla:Harvtxt).
La serie hipergeométrica básica bilateral, correspondiente a la serie hipergeométrica bilateral, se define como

${}_j{\psi }_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_j\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_j;q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k;q{)}_n}{((-1{)}^n{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})})}^{k-j}{z}^n.$

El caso especial más importante es cuando j = k, puesto que se convierte en

${}_k{\psi }_k[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_k\\ b_1& b_2& \dots & b_k\end{array};q,z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1,a_2,\dots ,a_k;q{)}_n}{(b_1,b_2,\dots ,b_k;q{)}_n}{z}^n.$

La serie unilateral puede obtenerse como un caso especial de la bilateral igualando una de las variables b a q, al menos cuando ninguna de las variables a es potencia de q, ya que todos los términos con n < 0 desaparecen.

Series simples

Algunas expresiones de series simples son

$\frac{z}{1-q}{}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}qq\\ q^2\end{array};q,z]=\frac{z}{1-q}+\frac{z^2}{1-q^2}+\frac{z^3}{1-q^3}+\dots$

,

$\frac{z}{1-q^{1/2}}{}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}q{q}^{1/2}\\ q^{3/2}\end{array};q,z]=\frac{z}{1-q^{1/2}}+\frac{z^2}{1-q^{3/2}}+\frac{z^3}{1-q^{5/2}}+\dots$

y

${}_2{\varphi }_1[\begin{array}{c}q-1\\ -q\end{array};q,z]=1+\frac{2z}{1+q}+\frac{2z^2}{1+q^2}+\frac{2z^3}{1+q^3}+\dots .$

El teorema q-binomial

El teorema q-binomial (publicado la primera vez en 1811 por Heinrich August Rothe) establece que

${}_1{\varphi }_0(a;q,z)=\frac{(az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-a{q}^{n}z}{1-q^{n}z}$

la cual se se obtiene aplicando repetidamente la identidad

${}_1{\varphi }_0(a;q,z)=\frac{1-az}{1-z}{}_1{\varphi }_0(a;q,qz).$

El caso especial de a = 0 está íntimamente relacionado con la q-exponencial.

Teorema binomial de Cauchy

El teorema binomial de Cauchy es un caso especial del teorema q-binomial.

$\sum _{n=0}^N{y}^n{q}^{n(n+1)/2}{\left[\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right]}_q=\prod _{k=1}^N(1+y{q}^k)(|q|<1)$

Identidad de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan dio la identidad

${}_1{\psi }_1[\begin{array}{c}a\\ b\end{array};q,z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a;q{)}_n}{(b;q{)}_n}{z}^n=\frac{(b/a,q,q/az,az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(b,b/az,q/a,z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

válida para |q| < 1 y |b/a| < |z| < 1. Identidades similares para ${}_6{\psi }_6$ habían sido dadas por Bailey. Tales identidades pueden ser entendidas como generalizaciones del producto triple de Jacobi, que pueden ser escritas usando q-series como

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n(n+1)/2}{z}^n=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}(-1/z;q{)}_{\mathrm{\infty }}(-zq;q{)}_{\mathrm{\infty }}.$

Ken Ono dio una serie de potencias formal relacionada

$A(z;q)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{1+z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z;q{)}_n}{(-zq;q{)}_n}{z}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^{2n}{q}^{n^2}.$

Integral de contorno de Watson

Como un análogo de la integral de Barnes para las series hipergeométricas, Watson mostró que

${}_2{\varphi }_1(a,b;c;q,z)=\frac{-1}{2\pi i}\frac{(a,b;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q,c;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(q{q}^s,c{q}^s;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a{q}^s,b{q}^s;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\frac{\pi (-z{)}^s}{\sin \pi s}ds$

donde los polos de $(a{q}^s,b{q}^s;q{)}_{\mathrm{\infty }}$ se encuentran a la izquierda del contorno y los polos restantes se encuentran a la derecha. Hay una integral de contorno similar para _r+1φ_r. Esta integral de contorno da una continuación analítica de la función hipergeométrica básica en z.

Versión matricial

La función hipergeométrica básica matricial se puede definir de la siguiente manera:

${}_2{\varphi }_1(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(A;q{)}_n(B;q{)}_n}{(C;q{)}_n(q;q{)}_n}{z}^n,(A;q{)}_0:=1,(A;q{)}_n:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-A{q}^k).$

El criterio del cociente muestra que esta función matricial es absolutamente convergente.

Véase también

• Identidad de Dixon
• Identidades de Rogers–Ramanujan

Bibliografía

• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004)
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, Plantilla:ISBN, Plantilla:ISBN, Plantilla:ISBN
• Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's ${}_1{\psi }_1$ Summation
• Plantilla:Citation
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• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. Plantilla:Isbn
• Plantilla:Cite report. Section 0.2
• Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press.
• Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
• Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld