Sistema hamiltoniano superintegrable

En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica de dimensión $2n$ en el que se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Existen $k>n$ integrales de movimiento $F_i$ independientes. Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada $F:Z\to N=F(Z)$ sobre un subconjunto abierto y conexo $N\subset {ℝ}^k$.

(ii) Existen funciones reales diferenciables $s_{ij}$ en $N$ tales que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se expresa como $\{F_i,F_j\}=s_{ij}\circ F$.

(iii) La función matricial $s_{ij}$ es de corrango constante $m=2n-k$ en $N$.

Si $k=n$, el sistema es completamente integrable. El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold para las coordenadas de acción-ángulo en sistemas completamente integrables como sigue.

Supongamos que las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable son conexas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrada $F$ es un fibrado en el toro $T^m$. Existe un entorno abierto $U$ de $F$ que es un fibrado trivial dado con las coordenadas de acción-ángulo generalizadas $(I_A,p_i,q^i,{\varphi }^A)$, $A=1,\dots ,m$, $i=1,\dots ,n-m$ tal que $({\varphi }^A)$ son coordenadas en $T^m$. Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica $U$. El hamiltoniano de un sistema superintegrable solo depende de las variebles de acción $I_A$ que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en $F(U)$.

El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas, que son difeomorfas al cilindro toroidal $T^{m-r}\times {ℝ}^r$.

Véase también

• Sistema hamiltoniano integrable
• Coordenadas de acción-ángulo
• Mecánica de Nambu
• Vector de Runge-Lenz

Referencias

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113. Plantilla:Doi
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; Plantilla:Arxiv.
• Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and perturbations, Acta Appl. Math. 87(2005) 93. Plantilla:Doi
• Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; Plantilla:Arxiv.
• Miller, W., Jr, Post, S., Winternitz P., Classical and quantum superintegrability with applications, J. Phys. A 46 (2013), no. 42, 423001, Plantilla:Doi Plantilla:Arxiv
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) Plantilla:ISBN; Plantilla:Enlace roto.