Sistema lagrangiano

En matemáticas, un sistema lagrangiano es un par Plantilla:Math, que consiste en un fibrado suave Plantilla:Math y una densidad lagrangiana Plantilla:Math, lo que hace que el operador diferencial de Euler-Lagrange actúe en secciones de Plantilla:Math.

En mecánica clásica, muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos. El espacio de configuración de dicho sistema lagrangiano es un haz de fibras Plantilla:Math en el eje de tiempo sobre Plantilla:Math. En particular, Plantilla:Math si un marco de referencia es fijo. En teoría clásica de campos, todos los sistemas de campo lo son de Lagrange.

Lagrangianos y operadores de Euler-Lagrange

Una densidad lagrangiana Plantilla:Math (o, simplemente, un lagrangiano) de orden Plantilla:Math se define como una [[forma diferencial|Plantilla:Math-forma]], Plantilla:Math, de variedades de jets orden Plantilla:Math Plantilla:Math sobre Plantilla:Math.

Un lagrangiano Plantilla:Math puede ser introducido como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial Plantilla:Math de formas exteriores en la variedad de jets de Plantilla:Math. El operador cohomólogo de este bicomplejo contiene el operador variacional Plantilla:Math que, actuando en Plantilla:Math, define el operador asociado de Euler-Lagrange Plantilla:Math.

En coordenadas

Dado el haz coordenado Plantilla:Math en un haz de fibras Plantilla:Math y las coordenadas adaptadas Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math) en las variedades de jets Plantilla:Math, un lagrangiano Plantilla:Math y su operador de Euler-Lagrange se expresan como

$L=ℒ(x^{\lambda },y^i,y_{\mathrm{\Lambda }}^i)d^{n}x,$

$\delta L={\delta }_iℒd{y}^i\wedge d^{n}x,{\delta }_iℒ={\partial }_iℒ+\sum _{|\mathrm{\Lambda }|}(-1{)}^{|\mathrm{\Lambda }|}{d}_{\mathrm{\Lambda }}\underset{i}{\overset{\mathrm{\Lambda }}{\partial }}ℒ,$

donde

$d_{\mathrm{\Lambda }}=d_{{\lambda }_1}\cdots d_{{\lambda }_k},d_{\lambda }={\partial }_{\lambda }+y_{\lambda }^i{\partial }_i+\cdots ,$

denotan las derivadas totales.

Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma

$L=ℒ(x^{\lambda },y^i,y_{\lambda }^i)d^{n}x,{\delta }_{i}L={\partial }_iℒ-d_{\lambda }\underset{i}{\overset{\lambda }{\partial }}ℒ.$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagranges Plantilla:Math.

Cohomología y los teoremas de Noether

Una cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional

$dL=\delta L+d_H{\mathrm{\Theta }}_L,$

donde

$d_H{\mathrm{\Theta }}_L=d{x}^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\varphi ,\varphi \in O_{\mathrm{\infty }}^{*}(Y)$

es el diferencial total y Plantilla:Math es un equivalente de Lepage de Plantilla:Math. El teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.

Variedades clasificadas

Extendido a variedades clasificadas, el bicomplejo variacional proporciona una descripción de los sistemas lagrangianos clasificados de variables pares e impares.

Formulaciones alternativas

De manera diferente, los operadores lagrangianos, los de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange se introducen en el marco del cálculo de variaciones.

Mecánica clásica

En la mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden en una variedad Plantilla:Math o varios haces de fibras Plantilla:Math sobre Plantilla:Math. Una solución de las ecuaciones de movimiento se llama movimiento.

Véase también

• Mecánica lagrangiana
• Cálculo de variaciones
• Teorema de Noether
• Identidades de Noether
• Haz de jets
• Jet
• Bicomplejo variacional

Bibliografía

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Cite book
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Enlaces externos

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