Subgrupo de Young

En matemáticas, los subgrupos de Young del grupo simétrico $S_n$ son subgrupos especiales que surgen en la combinatoria y la teoría de la representación. Cuando $S_n$ se considera como el grupo de permutaciones del conjunto $\{1,2,\dots ,n\}$, y si $\lambda =({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{\ell })$ es una partición entera de $n$, luego el subgrupo Young $S_{\lambda }$ indexado por $\lambda$ se define por $$S_{\lambda }=S_{\{1,2,\dots ,{\lambda }_1\}}\times S_{\{{\lambda }_1+1,{\lambda }_1+2,\dots ,{\lambda }_1+{\lambda }_2\}}\times \cdots \times S_{\{n-{\lambda }_{\ell }+1,n-{\lambda }_{\ell }+2,\dots ,n\}},$$ dónde $S_{\{a,b,\dots \}}$ denota el conjunto de permutaciones de $\{a,b,\dots \}$ y $\times$ denota el producto directo de grupos. De manera abstracta, $S_{\lambda }$ es isomorfo al producto $S_{{\lambda }_1}\times S_{{\lambda }_2}\times \cdots \times S_{{\lambda }_{\ell }}$. Los subgrupos jóvenes reciben su nombre de Alfred Young.

Cuando $S_n$ es visto como un grupo de reflexión, sus subgrupos de Young son precisamente sus subgrupos parabólicos. Pueden definirse de manera equivalente como los subgrupos generados por un subconjunto de las transposiciones adyacentes. $(12),(23),\dots ,(n-1n)$.

En algunos casos, el nombre Subgrupo de Young se utiliza de forma más general para el producto. $S_{B_1}\times \cdots \times S_{B_{\ell }}$, dónde $\{B_1,\dots ,B_{\ell }\}$ es cualquier conjunto de particiones $\{1,\dots ,n\}$ (es decir, una colección de subconjuntos disjuntos y no vacíos cuya unión es $\{1,\dots ,n\}$). Esta familia más general de subgrupos está formada por todos los conjugados de aquellos bajo la definición anterior. Estos subgrupos también pueden caracterizarse como los subgrupos de $S_n$ que se generan mediante un conjunto de transposiciones.

Lectura adicional

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Springer