Suma de Ramanujan

En matemáticas, la suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c_q(n), se define como

$c_q(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{a=1}{(a,q)=1}}^q{e}^{2\pi i\frac{a}{q}n},$

donde n y q son los dos enteros positivos que definen la suma; (a,q)=1 indica que a solo puede tomar valores cuyo máximo común divisor con respecto a q sea 1 (es decir, que a y q sean coprimos entre sí); y e^(x) es la función exponencial.

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, por ejemplo,

c_q(n)c_r(n)=c_qr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que c_q(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

$c_q(n)=\mu (q/d)\frac{\varphi (q)}{\varphi (q/d)}.$

Series relacionadas con la suma de Ramanujan

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

$\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_q{c}_q(n)$

para diversas secuencias (a_q). En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

$\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q^s}=\frac{{\sigma }_{1-s}(n)}{\zeta (s)},$

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

$\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q}=0$

y

$\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q^2}=\frac{6}{{\pi }^2}\frac{{\sigma }_1(n)}{n}$

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

$\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q}\log (q)=-{\sigma }_0(n)$

y

$\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{q-1}\frac{c_{2q-1}(n)}{2q-1}=r_2(n),$

donde r₂(n) son el número de representaciones de n como x² + y² en enteros x e y.