Surface Bundle

Surface bundle es un fibrado por superficie, es decir la fibra es una 2-variedad y sobre alguna base -en símbolos:

$F\subset E\to B$

donde E el fibrado (o espacio total), F es la fibra (espacio fibra) y B la base del fibrado (espacio base del fibrado), siendo casos importantes:

1. Fibrar sobre el círculo $S^1$ y es por lo tanto un tipo de 3-variedad. Una castellanización de este nombre puede ser F-fibrado sobre B, o bien fibrado por superficies sobre B.
2. Fibrar sobre otra superficie. Es este caso reciben el nombre de surface bundle over a surface y son una clase de 4-variedades.

No son importantes los fibrados-por-superficie que tengan una base que sea contraíble desde el punto de vista homotópico, pues en este caso, el fibrado es trivial, es decir, homeomorfo a $F\times B$

Cuando la base es un círculo el espacio es un surface bundle over the circle. Estos fibrados están clasificados por clases de isotopía de auto-homeomorfismos; $F\stackrel{[f]}{\to }F$.

Construcción

Sea F una superficie cerrada. Si tenemos el producto cartesiano $F\times I$, entonces vamos a utilizar un homeomorfismo $\varphi :F\to F$ para identificar las tapas $F\times \{0\}$ con $F\times \{1\}$ usando la fórmula

$(x,0)$$\sim$$(\varphi (x),1)$

así el nuevo espacio $E_{\varphi }=\frac{F\times I}{\sim }$ es el F-fibrado sobre $S^1$ determinado por $\varphi$

Si $\varphi$ es el mapa identidad de F, el fibrado es $F\times S^1$.

Cuando $\varphi$ no está en la clase de isotopía de la identidad el fibrado $E_{\varphi }=F{\times }_{\varphi }{S}^1$ se dice twisted surface bundle.

Para la 2-esfera hay dos $S^2\times S^1$ y $S^2\stackrel{\sim }{\times }{S}^1$.

Se distingue entre fibrados que utilizan superficies cerradas (compactas y sin frontera) para obtener fibrados sin frontera. Además usando la clasificación de las superficies obtenemos

• $O_g\subset E\to B$
• $N_k\subset E\to B$

sobre alguna base B de dimensión uno.

Como los fibrados sobre la recta numérica ${ℝ}^1$ (o intervalos conexos) son triviales (i.e. solo obtenemos $E=F\times {ℝ}^1$), por eso hay más riqueza al estudiar fibrados sobre el círculo, $S^1$.