Tensor de dos puntos

Un tensor de dos puntos (o también vector doble), es un elemento similar a un tensor que se transforman como un vector con respecto a cada uno de sus índices. Se utiliza en mecánica de medios continuos para pasar desde las coordenadas de referencia iniciales ("material") a las coordenadas del estado del sólido en un momento dado ("configuración"). Ejemplos de su utilización incluyen la teoría de la deformación finita y el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff.

Como ocurre con muchas aplicaciones tensoriales se les suele aplicar el convenio de suma de Einstein. Para aclarar su notación, a menudo se utilizan índices con letras mayúsculas para indicar las coordenadas de referencia y con letras minúsculas para las coordenadas de estado. Por lo tanto, un tensor de dos puntos tendrá un índice en mayúscula y otro en minúscula; por ejemplo, A_jM.

Mecánica continua

Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas. Por el contrario, un tensor de dos puntos transforma vectores de un sistema de coordenadas a otro sistema de coordenadas. Es decir, un tensor convencional

$𝐐=Q_{pq}({𝐞}_p\otimes {𝐞}_q)$,

de forma que se transforma activamente un vector u en un vector v tal que

$𝐯=𝐐𝐮$

donde v y u se miden en el mismo espacio y su representación de coordenadas es con respecto a la misma base (denotada por la "e").

Por el contrario, un tensor de dos puntos, G, se escribe como

$𝐆=G_{pq}({𝐞}_p\otimes {𝐄}_q)$

y transforma un vector, U definido en el sistema E, en un vector, v definido en el sistema e como

$𝐯=𝐆𝐔$.

Ley de transformación de un tensor de dos puntos

Supóngase que se tienen dos sistemas de coordenadas, uno denotado con una comilla y el otro no, y las componentes de un vector se transforman entre ellos como

$v{\text{'}}_p=Q_{pq}{v}_q$.

Para tensores, supóngase que se tiene que

$T_{pq}(e_p\otimes e_q)$.

un tensor en el sistema $e_i$. En otro sistema, sea el mismo tensor dado por

$T{\text{'}}_{pq}(e{\text{'}}_p\otimes e{\text{'}}_q)$.

Se puede decir que

$T{\text{'}}_{ij}=Q_{ip}{Q}_{jr}{T}_{pr}$.

Entonces

$T^{\prime }=QT{Q}^{𝖳}$

es la transformación tensorial habitual. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es simplemente

$F_{pq}(e{\text{'}}_p\otimes e_q)$

que se transforma como

$F^{\prime }=QF$.

Ejemplo

El ejemplo más sencilla de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, el Q en el párrafo anterior. Teniendo en cuenta que

$v{\text{'}}_p=Q_{pq}{u}_q$.

Ahora, escribiendo en su totalidad,

$u=u_q{e}_q$

y también

$v=v{\text{'}}_{p}e{\text{'}}_p$.

Esto entonces requiere que Q tenga la forma

$Q_{pq}(e{\text{'}}_p\otimes e_q)$.

Por definición de producto tensorial,

Plantilla:NumBlk

Entonces se puede escribir

$u_p{e}_p=(Q_{pq}(e{\text{'}}_p\otimes e_q))(v_q{e}_q)$

De este modo

$u_p{e}_p=Q_{pq}{v}_q(e{\text{'}}_p\otimes e_q)e_q$

Incorporando (Plantilla:EquationNote), se obtiene que

$u_p{e}_p=Q_{pq}{v}_q{e}_p$.

Véase también

• Tensor mixto
• Covarianza y contravarianza

Enlaces externos

• Fundamentos matemáticos de la elasticidad Por Jerrold E. Marsden, Thomas J. R. Hughes
• Tensores de dos puntos en iMechanica