Teorema de Beatty

En matemática, el teorema de Beatty señala la condición necesaria y suficiente para que dos sucesiones pseudo-aritméticas sean una partición de ${\mathbb{N}}^{*}$. Fue publicado en 1926 por el matemático canadiense Samuel Beatty, profesor de la Universidad de Toronto. Otra demostración de este teorema se publicó en 1927 por A.Ostrowski (Basilea) y A. C. Aitken (Chicago).

Enunciado

Afirma la equivalencia de las dos declaraciones siguientes :

• Los números p y q son positivos, irracionales y verifican $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
• Las dos secuencias de enteros $P=(E(np){)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ y $Q=(E(nq){)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ forman una partición del conjunto ${\mathbb{N}}^{*}$

en donde la función E designa la función parte entera. El resultado no es generalizable (engañosamente): no es posible hacer una partición de

${\mathbb{N}}^{*}$ con más de tres sucesiones pseudo-aritméticas. Plantilla:Demostración

Ejemplo

Uno de los primeros ejemplos conocidos descubierto en 1907 por el matemático holandés Wythoff, independiente del teorema de Beatty. Para $\varphi$ el número de oro, se tiene que :

$\frac{1}{\varphi }+\frac{1}{{\varphi }^2}=1.$

Las dos sucesiones obtenidas serán entonces :

• $E(n\varphi )$, n>0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... Plantilla:OEIS
• $E(n{\varphi }^2)$, n>0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... Plantilla:OEIS

Las parejas $(E(n\varphi ),E(n{\varphi }^2))$ aparecen en la resolución del juego de Wythoff, y caracterizan las posiciones a partir de las cuales el jugador marcado no puede ganar.

Bibliografía en francés

• Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1. Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas. Éditions Cassini.

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