Teorema de Buchdahl

Evolución de la presión central frente a la compacidad (radio sobre masa) para una 'estrella' de densidad uniforme. Esta presión central diverge en el límite de Buchdahl.

En relatividad general, el teorema de Buchdahl, llamado así por Hans Adolf Buchdahl, hace más precisa la idea de que existe una densidad máxima permitida para la materia gravitante ordinaria. Da una desigualdad entre la masa y el radio que debe cumplirse para configuraciones de materia estáticas y esféricamente simétricas bajo ciertas condiciones. En particular, para una "estrella" de radio $R$, la masa $M$ debe satisfacer

$M<\frac{4R{c}^2}{9G}$

dónde $G$ es la constante de gravitación universal y $c$ es la velocidad de la luz . Esta desigualdad a menudo se denomina límite de Buchdahl . Históricamente, el límite también se ha llamado límite de Schwarzschild, ya que Karl Schwarzschild señaló por primera vez que existe en el caso especial de un fluido de densidad constante. Sin embargo, esta terminología no debe confundirse con el radio de Schwarzschild, que es notablemente más pequeño que el radio en el límite de Buchdahl.

Teorema

Dada una solución estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein (sin constante cosmológica ) con materia confinada en una esfera de radio $R$ que se comporta como un fluido perfecto con una densidad que no aumenta hacia el exterior (un radio $R$ corresponde a una esfera de superficie $4\pi R^2$ . En el espacio-tiempo curvo, el radio propio de tal esfera no es necesariamente $R$) Supone además que la densidad y la presión no pueden ser negativas. La masa de esta solución debe satisfacer

$M<\frac{4R{c}^2}{9G}$

Para su prueba del teorema, Buchdahl usa la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) .

Significado

El teorema de Buchdahl es útil cuando se buscan alternativas a los agujeros negros. Tales intentos a menudo se inspiran en la paradoja de la pérdida de información ; una forma de explicar (parte de) la materia oscura; o para criticar que las observaciones de los agujeros negros se basan en la exclusión de alternativas astrofísicas conocidas (como las estrellas de neutrones ) y no en pruebas directas. Sin embargo, para proporcionar una alternativa viable, a veces se necesita que el objeto sea extremadamente compacto y, en particular, que viole la desigualdad de Buchdahl. Esto implica que uno de los supuestos del teorema de Buchdahl debe ser inválido. Se puede hacer un esquema de clasificación basado en qué supuestos se violan.

Casos especiales

Fluido incompresible

El caso especial del fluido incompresible o de densidad constante, $\rho (r)={\rho }_{*}$ por $r<R$, es un ejemplo históricamente importante ya que, en 1916, Schwarzschild notó por primera vez que la masa no podía exceder el valor $\frac{4R{c}^2}{9G}$ para un radio dado $R$ o la presión central se volvería infinita. También es un ejemplo particularmente tratable. Dentro de la estrella uno encuentra.

$m(r)=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{*}$

y usando la ecuación TOV

$p(r)={\rho }_{*}{c}^2\frac{R\sqrt{R-2GM/c^2}-\sqrt{R^3-2GM{r}^2/c^2}}{\sqrt{R^3-2GM{r}^2/c^2}-3R\sqrt{R-2GM/c^2}}$

tal que la presión central, $p(0)$, diverge cuando $R\to 9GM/4c^2$ .

Extensiones

Las extensiones del teorema de Buchdahl generalmente relajan las suposiciones sobre el tema o sobre la simetría del problema. Por ejemplo, introduciendo materia anisotrópica o rotación. Además, también se pueden considerar análogos del teorema de Buchdahl en otras teorías de la gravedad