Teorema de Cochran

En estadística, el teorema de Cochran, creado por William G. Cochran, es un teorema utilizado para justificar los resultados relacionados con las distribuciones de probabilidad de estadísticas que se utilizan en el análisis de varianza.

Teorema

Sean $U_1,U_2,\dots ,U_n$ variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas y que existen matrices semipositivas definidas $B^{(1)},B^{(2)},\dots ,B^{(k)}$ con

$\sum _{i=1}^K{B}^{(i)}=I_N$

y supóngase que $r_1+r_2+\cdots +r_k=N$ donde $r_i$ es el rango de $B^{(i)}$, si escribimos

$Q_i=\sum _{j=1}^N\sum _{\phi =1}^N{U}_j{B}_{j,\phi }^{(i)}{U}_{\phi }$

entonces $Q_i$ es una forma cuadrática entonces el teorema de Cochran enuncia que las ${Q_i}^{\prime }s$ con $i=1,2,\dots ,N$ son independientes y cada $Q_i$ tiene una distribución Chi-Cuadrada con $r_i$ grados de libertad, esto es, $Q_i\sim {\chi }_{r_i}^2$.

En regresión lineal

Sean $Y\sim N_n(0,{\sigma }^2{I}_n)$ un vector aleatorio con distribución normal multivariada, donde $I_n$ denota la matriz identidad de tamaño $n\times n$, y $A_1,A_2,\dots ,A_k$ matrices simétricas de tamaño $n\times n$ con

$\sum _{i=1}^k{A}_i=I_n$

entonces una de las siguientes condiciones implica las siguientes dos:

$\sum _{i=1}^k\mathrm{Rank}(A_i)=n$

$Y^T{A}_{i}Y\sim {\sigma }^2{\chi }_{\mathrm{Rank}(A_i)}^2$

$Y^T{A}_{i}Y$ es independiente de $Y^T{A}_{j}Y$ para $i\ne j$.

Estimación de la varianza

Para estimar la varianza ${\sigma }^2$, un estimador usado es el estimador por máxima verosimilitud de la varianza de una distribución normal

${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2$

el teorema de Cochran demuestra que

$\frac{n{\hat{\sigma }}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2$

y por las propiedades de la distribución Chi-Cuadrada se tiene que

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}\left[\frac{n{\hat{\sigma }}^2}{{\sigma }^2}\right]& =\mathrm{E}[{\chi }_{n-1}^2]\\ \frac{n}{{\sigma }^2}\mathrm{E}\left[{\hat{\sigma }}^2\right]& =n-1\\ \mathrm{E}\left[{\hat{\sigma }}^2\right]& =\frac{{\sigma }^2(n-1)}{n}\end{array}$

Bibliografía

• Gut, Allan. An intermediate course in probability. Springer-Verlag New York, Inc. (1995). Pag. 141-142. Traducción libre realizada en la clase de Principios de Ingeniería de Información. Escuela de Ingeniería Industrial. Universidad de Carabobo. Venezuela. Jueves 13-05-2010; Prof. Ángel Carnevali, Brs: Oscar Mistage, Luis Bolívar, Luis Latuff, Karin Sanchez, Giuliano Salvadori, Carlos Páez.