Teorema de Dini

En análisis matemático, el teorema de Dini afirma que si una sucesión monótona de funciones continuas converge puntualmente en un espacio compacto y la función límite es también continua, la convergencia es uniforme.

Enunciado formal

Si $X$ es un espacio topológico compacto, y $\{f_n\}$ es una sucesión monótonamente creciente (esto es, $f_n(x)\le f_{n+1}(x)$ para todo $n$ y $x$) de funciones reales continuas en $X$ que converge puntualmente a una función continua $f$, entonces la convergencia es uniforme. La misma afirmación se cumple si $\{f_n\}$ es monótonamente decreciente en lugar de creciente. El teorema recibe su nombre por Ulisse Dini.

Este es uno de los pocos casos en matemáticas donde la convergencia puntual implica convergencia uniforme. La clave del resultado es el mayor control que implica la monotonía. Nótese también que la función límite ha de ser continua, ya que el límite uniforme de funciones continuas es necesariamente continuo.

Demostración

Sea $ϵ>0$ cualquiera pero fijo. Para cada $n$, sea $g_n=f-f_n$, y sea $E_n$ el conjunto de los $x\in X$ tales que $g_n(x)<ϵ$. Cada $g_n$ es continua, y por tanto cada $E_n$ es abierto (ya que cada $E_n$ es la preimagen de un conjunto abierto bajo $g_n$, una función continua no negativa). Dado que $\{f_n\}$ es monótonamente creciente, $\{g_n\}$ es monótonamente decreciente, por lo que la sucesión $E_n$ es ascendente. Dado que $f_n$ converge puntualmente a $f$, se sigue que la colección $\{E_n\}$ es un recubrimiento abierto de $X$. Por compacidad, existe un subrecubrimiento finito, y dado que los $E_n$ son ascendentes el mayor de estos es también un recubrimiento. Por tanto, obtenemos que existe un entero no negativo $N$ tal que $E_N=X$. Esto es, si $n>N$ y $x$ es un punto en $X$, entonces $|f(x)-f_n(x)|<ϵ$, como se buscaba demostrar.

Referencias

• Bartle, Robert G. y Sherbert Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis, 3.ª edición, Wiley, pág. 238.
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Jost, Jürgen (2005) Postmodern Analysis, 3.ª edición, Springer. Véase el Teorema 12.1 en la página 157 para el caso monótonamente creciente.
• Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, 3.ª edición, McGraw–Hill. Véase el Teorema 7.13 en la página 150 para el caso monótonamente decreciente.
• Plantilla:Cita libro