Teorema de Kennelly

El teorema de Kennelly, llamado así en homenaje a Arthur Edwin Kennelly, permite determinar la carga equivalente en estrella a una dada en triángulo y viceversa. El teorema también se le suele llamar de transformación estrella-triángulo (escrito Y-Δ) o transformación te-delta (escrito T-Δ).

Ecuaciones de transformación

En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones de transformación en función de las impedancias y de las admitancias.

Ecuaciones de Kennelly
Transformación Δ-Y
En función de las impedancias En función de las admitancias ${\overrightarrow{Z}}_{AT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}$ ${\overrightarrow{Y}}_{AT}={\overrightarrow{Y}}_{AB}+{\overrightarrow{Y}}_{AC}+\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AB}.{\overrightarrow{Y}}_{AC}}{{\overrightarrow{Y}}_{BC}}$ ${\overrightarrow{Z}}_{BT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}$ ${\overrightarrow{Y}}_{BT}={\overrightarrow{Y}}_{AB}+{\overrightarrow{Y}}_{BC}+\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AB}.{\overrightarrow{Y}}_{BC}}{{\overrightarrow{Y}}_{AC}}$ ${\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}$ ${\overrightarrow{Y}}_{CT}={\overrightarrow{Y}}_{AC}+{\overrightarrow{Y}}_{BC}+\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AC}.{\overrightarrow{Y}}_{BC}}{{\overrightarrow{Y}}_{AB}}$
Transformación Y-Δ
En función de las impedancias En función de las admitancias $Z_{AB}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}}{{\overrightarrow{Z}}_{CT}}$ ${\overrightarrow{Y}}_{AB}=\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AT}.{\overrightarrow{Y}}_{BT}}{{\overrightarrow{Y}}_{AT}+{\overrightarrow{Y}}_{BT}+{\overrightarrow{Y}}_{CT}}$ $Z_{BC}={\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{AT}}$ ${\overrightarrow{Y}}_{BC}=\frac{{\overrightarrow{Y}}_{BT}.{\overrightarrow{Y}}_{CT}}{{\overrightarrow{Y}}_{AT}+{\overrightarrow{Y}}_{BT}+{\overrightarrow{Y}}_{CT}}$ $Z_{AC}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{BT}}$ ${\overrightarrow{Y}}_{AC}=\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AT}.{\overrightarrow{Y}}_{CT}}{{\overrightarrow{Y}}_{AT}+{\overrightarrow{Y}}_{BT}+{\overrightarrow{Y}}_{CT}}$

Demostración

A continuación se demuestra analíticamente las ecuaciones de Kennelly.

Circuito Triángulo a estrella

Figura 1. Equivalencia entre cargas en estrella (izquierda) y triángulo (derecha).

Supongamos conocidos los valores Z_AB, Z_BC y Z_AC de la carga en triángulo de la figura 1 y deseamos obtener los valores Z_AT, Z_BT y Z_CT de su equivalente en estrella. Para ello obtendremos en ambos circuitos las impedancias equivalentes respecto de los puntos A-B, B-C y A-C y las igualaremos puesto que son cargas equivalentes (observe que en la estrella quedan siempre dos impedancias en serie, mientras que en el triángulo quedan dos en serie con la tercera en paralelo):

$(1){\overrightarrow{Z}}_{A-B}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}$

$(2){\overrightarrow{Z}}_{B-C}={\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BC}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}.{\overrightarrow{Z}}_{AB}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}$

$(3){\overrightarrow{Z}}_{A-C}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}$

La ecuaciones de Kennelly se obtienen a partir de las anteriores del siguiente modo:

1. Sumando las ecuaciones (1) y (3) y restando el resultado de la (2)
2. Sumando las ecuaciones (1) y (2) y restando el resultado de la (3)
3. Sumando las ecuaciones (2) y (3) y restando el resultado de la (1)

Estrella a Triángulo

Supongamos ahora el caso opuesto, esto es, conocidos los valores Z_AT, Z_BT y Z_CT de la estrella de la figura 1, deseamos obtener los valores Z_AB, Z_BC y Z_AC de la carga en triángulo equivalente. Para ello se tomarán las ecuaciones de transformación Δ-Y, donde por simplificación de notación tomaremos

${\overrightarrow{Z}}_T={\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}$

quedando las ecuaciones siguientes:

${\overrightarrow{Z}}_{AT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}$ ;

${\overrightarrow{Z}}_{BT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}$ ;

${\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}$

Realizando las tres multiplicaciones binarias posibles entre ellas, se obtiene

$\frac{({\overrightarrow{Z}}_{AB}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}={\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}$

$\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.({\overrightarrow{Z}}_{AC}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}={\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}$

$\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}={\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}$

Y sumándolas

$\frac{({\overrightarrow{Z}}_{AB}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.({\overrightarrow{Z}}_{AC}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}=$

$={\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}$

Dividamos el primer miembro por el valor de ${\overrightarrow{Z}}_{AT}$:

$\frac{\frac{({\overrightarrow{Z}}_{AB}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.({\overrightarrow{Z}}_{AC}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}}{\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}}=$

$\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{{\overrightarrow{Z}}_T}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BC}({\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}+{\overrightarrow{Z}}_{BC})}{{\overrightarrow{Z}}_T}={\overrightarrow{Z}}_{BC}$

Y dividiendo el segundo miembro por ${\overrightarrow{Z}}_{AT}$:

$=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{AT}}={\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{AT}}$

Igualando ambos resultados obtenemos una de las ecuaciones de transformación. Las otras dos pueden obtenerse del mismo modo dividiendo por ${\overrightarrow{Z}}_{BT}$ y ${\overrightarrow{Z}}_{CT}$

Véase también

• Teorema de Rosen