Teorema de Löb

En lógica matemática, el teorema de Löb establece que en una teoría con aritmética de Peano, para cualquier fórmula P, se puede demostrar que "si P es demostrable entonces P", entonces P es demostrable. O sea:

si $T⊢\text{Dem}(\mathrm{\#}P)\to P$, entonces $T⊢P$

donde Dem(#P) significa que la fórmula con número de Gödel #P es demostrable en T.

El teorema de Löb debe su nombre a Martin Hugo Löb.

El teorema de Löb en la lógica demostrativa

La lógica demostrativa se abstrae de los detalles de las fórmulas utilizadas en los teoremas de incompletitud de Gödel expresando la demostrabilidad de P en el sistema dado en el lenguaje de la lógica modal, por medio de la modalidad $◻P$.

Se puede formalizar el teorema de Löb mediante el axioma:

$◻(◻P\to P)\to ◻P$,

Este axioma se conoce como el axioma GL, por Gödel-Löb. El mismo a veces es formalizado por medio de la siguiente regla de inferencia:

$\frac{◻P\to P}{◻P}$

La lógica demostrativa GL que resulta de tomar la lógica modal K4 y agregarle el axioma GL es el sistema investigado con mayor intensidad en la lógica demostrativa.

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