Teorema de Malus-Dupin

Plantilla:Referencias El teorema de Malus-Dupin es uno de los teoremas fundamentales de la óptica geométrica que la relaciona con la óptica ondulatoria.

Enunciado

Si sobre cada rayo emitido por un foco recorremos caminos ópticos iguales, entonces los puntos que los delimitan forman una superficie normal a todos los rayos. Denominamos a dicha superficie frente de ondas. Coincide con el frente de onda dado por la teoría oscilatoria. Al deducirse del principio de Fermat, es válido a pesar del número de reflexiones o refracciones que pueda sufrir el rayo antes de llegar a su destino.

Demostración

La demostración se realiza a partir del principio de Fermat.

Tomamos dos trayectorias distintas separadas infinitesimalmente, $[AB]$ y $[A{B}^{\prime }]$, donde $A$ es el foco y $B$ y $B^{\prime }$ son los puntos de llegada separados por caminos ópticos iguales. Entonces definimos los respectivos caminos ópticos como:

$L_{AB}={\int }_A^{B}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds$

$L_{A{B}^{\prime }}={\int }_A^{B^{\prime }}n({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime })d{s}^{\prime }$

Siendo $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}$ y ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }$ los respectivos vectores de posición, $ds$ y $d{s}^{\prime }$ los respectivos diferenciales de espacio y $n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})$ el índice de refracción.

Admitimos que el índice de refracción es derivable.

Emplearemos:

Desarrollo en serie de Taylor de primer orden: $f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})=f({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_0)+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_0)\cdot (\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}-{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_0)$

Ecuación de la trayectoria de un rayo luminoso (deducida a partir del principio de Fermat):$\frac{d}{ds}(n\mathbf{\text{𝐮}})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n$ de lo que $(n\mathbf{\text{𝐮}})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}nds$.

La relación ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }=\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}+\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}$ de la cual ${\mathbf{\text{𝐝𝐫}}}^{\prime }=\mathbf{\text{𝐝𝐫}}+\epsilon \mathbf{\text{𝐝𝐛}}$.

Admitimos que el índice de refracción admite un desarrollo en serie de Taylor de orden 1. Entonces se obtiene que

$n({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime })=n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})\cdot ({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }-\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})=n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})\cdot \epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}$.

Por otro haremos lo mismo con el módulo del vector posición:

$\mid {\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }\mid =\mid \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}\mid +\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mid \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}\mid \cdot ({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }-\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})=\mid \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}\mid +\frac{\partial }{\partial r}r{\hat{u}}_r\cdot ({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }-\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})=\mid \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}\mid +\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot ({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }-\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})=\mid \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}\mid +\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot {\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }-\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}=\mid \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}\mid +\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot {\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }-\mid \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}\mid =\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot {\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }$.

De modo que:

$d{s}^{\prime }=\mid \mathbf{\text{𝐝𝐫'}}\mid =\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot {\mathbf{\text{𝐝𝐫}}}^{\prime }=\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐫}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \epsilon \mathbf{\text{𝐝𝐛}}=ds+\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}$.

Se reemplaza en el camino óptico:

$L_{B^{\prime }}={\int }_A^{B^{\prime }}n({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime })d{s}^{\prime }={\int }_A^{B^{\prime }}[n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n\cdot \epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}](ds+\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}})$

$L_{B^{\prime }}={\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds+{\int }_A^{B^{\prime }}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n\cdot \epsilon \mathbf{\text{𝐝𝐛}}+{\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}+{\int }_A^{B^{\prime }}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n\cdot \epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}$

Eliminamos los elemento de orden de ${\epsilon }^2$:

$L_{B^{\prime }}={\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds+{\int }_A^{B^{\prime }}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n\cdot \epsilon \mathbf{\text{𝐝𝐛}}+{\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}$

Calculamos $\Delta L$:

$\Delta L={\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds+{\int }_A^{B^{\prime }}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n\cdot \epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}ds+{\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}-{\int }_A^{B}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds$

Factorizamos los términos por potencias de $\epsilon$:

$\Delta L={\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds-{\int }_A^{B}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds+\epsilon [{\int }_A^{B^{\prime }}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}ds+{\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}]$

Por la ecuación de las trayectorias tenemos que $d(n\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}})=d(n\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}})\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}+n\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}n\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}ds+n\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}\cdot \mathbf{\text{𝐝𝐛}}$ de modo que:

$\Delta L={\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds-{\int }_A^{B}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds+\epsilon [{\int }_A^{B^{\prime }}d(n\mathbf{\text{𝐛}}\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}})]$

Si suponemos que hemos escogido $B\equiv B^{\prime }$ entonces:

$\Delta L={\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds-{\int }_A^{B^{\prime }}n(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})ds+\epsilon [{\int }_A^{B^{\prime }}d(n\mathbf{\text{𝐛}}\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}})]=0$

$\Delta L=+\epsilon [{\int }_A^{B^{\prime }}d(n\mathbf{\text{𝐛}}\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}})]=0$

Por lo que:

${\int }_A^{B^{\prime }}d(n\mathbf{\text{𝐛}}\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}})=0$

$n({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})-n({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_A)\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_A)\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_A)=0$

Como el punto A es el foco la separación es siempre nula, en consecuencia:

$n({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})=0$

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})\cdot \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})=0$

$\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})\perp \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}({\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}_{B^{\prime }})$

Como B' es un punto arbitrario se tiene que $\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})\perp \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐮</mi>}}(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})$.

Teníamos que ${\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}}^{\prime }=\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}}+\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}$, por lo que $\epsilon \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐛</mi>}}(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">𝐫</mi>}})$ une los puntos de la superficie. De lo que la superficie formada es ortogonal a cada rayo. Podemos justificar que los puntos forman una superficie por continuidad.