Teorema de Ptolomeo

Un cuadrilátero cumple con el Teorema de Ptolomeo si y solamente si es cíclico.

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

$\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}$

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

Demostraciones

Demostración geométrica

Demostración del teorema de Ptolomeo

1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ahora, por ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
4. Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
   1. Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
   2. Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es válida solo para cuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe una generalización de este teorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.

El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométrica con respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.

Ejemplo

La razón dorada se obtiene de la aplicación del teorema de Ptolomeo

Considérese un pentágono regular y la circunferencia circunscrita al mismo. En el cuadrilátero ABCD las diagonales son iguales al lado AD. El teorema de Ptolomeo arroja en este caso,

$b^2=ab+a^2.$

Dividiendo entre $a^2$ se tiene

$\frac{b^2}{a^2}=1+\frac{b}{a}.$

Denotando con $\phi$ la razón b/a se obtiene ${\phi }^2=1+\phi$, ecuación que coinicide con la definición del número áureo.

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Enlaces externos

• Teorema de Ptolomeo en PlanetMath
• Plantilla:MathWorld