Teorema de Rivlin-Ericksen

El teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se debe fundamentalmente a Ronald Rivlin y establece una limitación importante a la ecuación constitutiva de un sólido deformable isótropo y objetivo.

Enunciado del teorema

El teorema afirma que si $𝐂$ es el tensor de respuesta que relaciona el tensor gradiente de deformación F con el tensor tensión T de un material objetivo e isótropo, cuyo tensor gradiente de deformación es F entonces su tensor tensión viene dado por: Plantilla:Ecuación Donde:

$\overline{𝐂}:{𝐒}_{>\mathrm{𝟑}}\mathbf{\subset }{𝐌}_{\mathrm{𝟑}}\to {𝐒}_{\mathrm{𝟑}}\subset {𝐌}_{\mathrm{𝟑}}$

$\overline{𝐂}(E)={\beta }_0({\iota }_E)I+{\beta }_1({\iota }_E)E+{\beta }_2({\iota }_E)E^2$

${𝐌}_{\mathrm{𝟑}}$, conjunto de matrices de 3×3.
${𝐒}_{\mathrm{𝟑}}$, conjunto de matrices 3×3 simétricas.
${𝐒}_{>\mathrm{𝟑}}$, conjunto de matrices 3×3 simétricas definidas positivas.
${\iota }_E$, conjunto de invariantes algebraicos (traza, invariante cuadrático y determinante), de la matriz E.

Teniendo en cuenta que la relación entre el tensor gradiente de deformación F, el tensor de Finger B = FF^T y el tensor deformación espacial (de Almansi) D_e es simplemente: Plantilla:Ecuación Donde I es la matriz identidad, puede verse cual es la forma más general posible de tensor respuesta o ecuación constitutiva de un material isótropo: Plantilla:Ecuación

Sólidos elásticos lineales e isótropos

Para el caso de sólidos elásticos lineales se puede demostrar rigurosamente a partir del teorema de Rivlin-Ericksen que el tensor tensión T y el tensor deformación D están relacionados por: Plantilla:Ecuación Donde λ y μ reciben los nombres de primer y segundo coeficientes de Lamé, y son constantes elásticas específicas de cada material. Es decir, un sólido elástico lineal tiene: Plantilla:Ecuación Esta ley constitutiva es funcionalmente idéntica a la de un material de Saint-Venant–Kirchhoff.

Enlaces externos

• Contribuciones de Rivlin a la mecánica de la fractura

Bibliografía

• Dietrich Braess, Finite Elements: Theory, fast solvers and aplications in solid mechanics, Cambridge University Press, 1997, pp. 254-255.
• Tomas Carlsson, Frank M. Leslie: The development of theory for flow and dynamic effects for nematic liquid crystals, Liquid Crystals, V 26, N 9 / September 1, 1999, pp. 1267 - 1280, URL: Plantilla:Enlace roto