Teorema de Wolstenholme

En matemática, el teorema de Wolstenholme afirma que para un número primo p > 3, la congruencia

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1mod{p}^3$

es verdadera, donde la parte izquierda de la igualdad es un coeficiente binomial.
Por ejemplo, con p = 7, dice que 1716 es uno más que un múltiplo de 343. El teorema fue demostrado por Joseph Wolstenholme en 1862; Charles Babbage había mostrado la equivalencia para p² en 1819.

No se sabe si un número compuesto cumple el teorema de Wolstenholme. Muy pocos números primos satisfacen la equivalencia para p⁴: los dos únicos valores que la cumplen son: 16843 y 2124679 (Plantilla:OEIS), y son llamados números de Wolstenholme.
Este teorema puede ser descompuesto en otros dos resultados:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\equiv 0mod{p}^2$
y

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(p-1{)}^2}\equiv 0modp.$

Por ejemplo, con p = 7, el primero de ellos dice que 1764 es un múltiplo de 49, mientras que el segundo dice que 773136 es múltiplo de 7.

Ejemplos y discusión de los mismos

Se va a probar la congruencia de Wolstenholme en su forma original. Para ello, se utiliza un caso particular de la identidad de Vandermonde

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})=\sum _{i=0}^p{(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})}^2=2+\sum _{i=1}^{p-1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})}^2$

Se sigue que la congruencia :$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2(mod{p}^3)$ es equivalente a $\sum _{i=1}^{p-1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})}^2\equiv 0mod{p}^3$.

Bibliografía

• [1] Granville, A., Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, vol 20 (1997) pp. 253-275.
• [2] Hardy, G.H., Wright, E.M., An Introduction to the Theory of Numbers, 4th ed., Oxford University Press, 1975.
• [3] Restrepo Mesa, P., On the elemental symmetric functions of 1^{p^k}, 2^{p^k}, \ldots, (p-1)^{p^k}, Mathematical Reflections 4 (2006).