Teorema de Zsigmondy

En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide aⁿ - bⁿ y no divide a^k-b^k por ningún entero positivo k<n, con las siguientes excepciones:

• Plantilla:Nowrap, Plantilla:Nowrap; entonces Plantilla:Nowrap = 1 que no tiene divisores primos
• Plantilla:Nowrap, Plantilla:Nowrap una potencia de dos; entonces cualquier factor primo impar de Plantilla:Nowrap = Plantilla:Nowrap debe estar contenido en Plantilla:Nowrap, que también es par
• Plantilla:Nowrap, Plantilla:Nowrap, Plantilla:Nowrap; entonces Plantilla:Nowrap = 63 = 3²×7 = Plantilla:Nowrap

Esto generaliza el teorema de Bang, que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces Plantilla:Nowrap tiene un divisor primo que no divide ningún Plantilla:Nowrap con Plantilla:Nowrap.

De manera similar, Plantilla:Nowrap tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de Plantilla:Nowrap.

El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.

Historia

El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

Generalizaciones

Sea $(a_n{)}_{n\ge 1}$ una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto

$𝒵(a_n)=\{n\ge 1:a_n\text{ no tiene divisores primos primitivos}\}.$

es decir, el conjunto de índices $n$ tal que cada primo dividiendo $a_n$también divide algunos $a_m$ para algunos $m<n$. Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que $𝒵(a^n-b^n)\subset \{1,2,6\}$, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es $\{1,2,6,12\}$, y el de la secuencia de Pell es $\{1\}$. En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier demostraron que, en general, si $(a_n{)}_{n\ge 1}$ es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces $𝒵(a_n)\subseteq \{1\le n\le 30\}$ (ver OEIS: A285314, solo hay 13 $n$, a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.

También se sabe que si $(W_n{)}_{n\ge 1}$ es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy $𝒵(W_n)$ es finito. Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en $𝒵(W_n)$, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en $𝒵(W_n)$.

Véase también

• Teorema de Carmichael

Bibliografía

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Enlaces externos

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