Teorema de la conservación del signo

Plantilla:Referencias El teorema de la conservación del signo establece que si una función $f:A\subseteq {ℝ}^n\to ℝ$ es continua en el un punto $P$ ($P$ contenido en $A$) y $f$ es positiva en $P$, entonces existe un entorno (abierto) del punto $P$ (de radio $\delta$), en el que la función es positiva. Análogamente, si $f$ es negativa en $P$, existe un entorno (abierto) del punto $P$ (de radio $\delta$), en el que la función es negativa.

Demostración

Por hipótesis, $f$ es una función continua en el punto $P$.
Entonces $\underset{x\to P}{\lim }f(x)=f(P)>0$
Por la definición de límite: $\begin{array}{c}\underset{x\to P}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:0<||x-P||<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon \end{array}$.
Tomamos $\epsilon =\frac{f(P)}{2}$. Entonces $\mathrm{\exists }\delta >0:x\in A\wedge \Vert x-P\Vert <\delta$
$\Rightarrow |f(x)-f(P)|<\frac{f(P)}{2}$
$\iff \frac{-f(P)}{2}<f(x)-f(P)<\frac{f(P)}{2}$
$\iff$ Sumando $f(P)$:
$\frac{f(P)}{2}<f(x)<\frac{3}{2}f(P)$

Por hipótesis: $f(P)>0\Rightarrow \frac{f(P)}{2}>0$

$\therefore f(x)>0$ $◼$

Observaciones y curiosidades

Este teorema se suele usar para demostrar el teorema de Bolzano.