Teorema de la probabilidad total

Demostración visual del teorema de la probabilidad total para el caso n = 4.

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Demostración

Por hipótesis tenemos una partición $A_1,A_2,\dots ,A_n$ del espacio muestral $\mathrm{\Omega }$. Por lo tanto el suceso $B$ se puede escribir como

$B=(B\cap A_1)\cup (B\cap A_2)\cup \cdots \cup (B\cap A_n).$

ahora bien, los conjuntos $B\cap A_i$ son disjuntos dos a dos , ya que en caso contrario los $A_i$ tampoco lo serían. En consecuencia

$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots +P(B\cap A_n).$

Por último, se sabe que $P(C\cap D)=P(C|D)P(D)$ para cualesquiera sucesos $C$ y $D$. Luego

$P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+\dots +P(B|A_n)P(A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_i)P(A_i),$

que era lo que se quería demostrar.

Véase también

• Teorema de Bayes

Enlaces externos

• Simulación con R-Project del Teorema de las Probabilidad Total