Teorema del resto

En álgebra el teorema del resto afirma que el resto $r$, que resulta al dividir un polinomio $p(x)$ entre $x-a$, es igual a $p(a).$

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que

$p(x)=q(x)c(x)+r(x),$

donde $p(x)$ es el dividendo, $q(x)$ el divisor, $c(x)$ el cociente y $r(x)$ el resto y verificándose además, que el grado de $r(x)$ es menor que el grado de $q(x)$.

En efecto, si tomamos el divisor $q(x)=x-a$ entonces $r(x)$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

$p(x)=(x-a)c(x)+r.$

Tomando el valor $x=a$ se obtiene que:

$\frac{}{}p(a)=r$

El teorema del resto nos permite calcular $p(a)$ calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores.

Ejemplo

Sea $p(x)=x^3-3x^2-7$.

Al dividir $p(x)$ por $x-2$ obtenemos el cociente

$c(x)=x^2-x-2$ y el resto $r=-11$.

Podemos asegurar entonces, que $p(2)=-11$,

Teorema del factor

Una consecuencia directa es que $(x-a)$ es un factor del polinomio $f(x)$ si y solo si $f(a)=0$.