Tetraedro ortocéntrico

Las alturas de un tetraedro ortocéntrico se cortan en el ortocentro de la figura (H)

En geometría, un tetraedro ortocéntrico, es un tetraedro cuyas cuatro alturas son concurrentes. Su punto de convergencia se designa entonces como el ortocentro del tetraedro.

Fue estudiado por Simon Lhuilier en 1782 y más adelante por G. de Longchamps en 1890, quien le dio el nombre.

El tetraedro regular y el tetraedro trirrectangular son casos especiales de tetraedro ortocéntrico, pero no así el tetraedro cuatrirrectángulo.

Propiedades

Ortogonalidad de aristas opuestas

Un tetraedro es ortocéntrico si y solo si sus aristas opuestas son ortogonales dos a dos.

Además, la denominada relación de Euler $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ implica que basta con que dos pares de aristas opuestas sean ortogonales para que los tres pares lo sean también.

Pies de las alturas

Un tetraedro es ortocéntrico si y solo si los pies de las cuatro alturas son los ortocentros de las caras, y basta que un pie de altura lo sea para que el tetraedro sea ortocéntrico.

Por lo tanto, se obtiene cualquier tetraedro ortocéntrico partiendo de un triángulo y tomando el cuarto vértice en la perpendicular al plano de este triángulo que pasa por el ortocentro.

Paralelepípedo circunscrito

Un tetraedro “ABCD” y su paralelepípedo circunscrito. $A^{\prime }$ tiene coordenadas baricéntricas $(-1,1,1,1)$ en $(A,B,C,D)$, y así sucesivamente

Es posible inscribir un tetraedro en el paralelepípedo cuyos tres pares de caras paralelas estén incluidos en los pares de planos paralelos que contienen dos aristas opuestas.

Un tetraedro es ortocéntrico si y solo si este paralelepípedo circunscrito tiene sus aristas de la misma longitud, en otras palabras es un romboedro.

De hecho, en el tetraedro, dos aristas opuestas son ortogonales si y solo si las caras correspondientes del paralelepípedo circunscrito son rombos (porque un paralelogramo es un rombo si y solo si sus diagonales son ortogonales). Si cuatro caras de un paralelepípedo son rombos, entonces todas las aristas tienen longitudes iguales y las seis caras son rombos. De ello se deduce que si dos pares de aristas opuestas en un tetraedro se forman a partir de aristas ortogonales, entonces el tercer par tiene la misma propiedad y el tetraedro es ortocéntrico.

Relación métrica

Un tetraedro “ABCD” es ortocéntrico si y solo si la suma de los cuadrados de las longitudes de dos aristas opuestas es la misma para los tres pares de aristas opuestas:

$A{B}^2+C{D}^2=A{C}^2+B{D}^2=A{D}^2+B{C}^2.$

De hecho, basta con que solo dos pares de aristas opuestas satisfagan esta condición para que el tetraedro sea ortocéntrico.

Bimedianas

Un tetraedro es ortocéntrico si y solo si sus tres bimedianas (que unen los puntos medios de dos aristas opuestas) tienen la misma longitud.

En efecto, las bimedianas son los segmentos que unen los centros de dos caras opuestas del paralelepípedo circunscrito, que tienen la misma longitud que las aristas paralelas a ellas. Por lo tanto, tienen la misma longitud si y solo si las aristas del paralelepípedo tienen la misma longitud.

Los extremos de las bialturas son los pies de las alturas de las caras

Bialturas

En un tetraedro ortocéntrico, las bialturas (perpendiculares comunes a dos aristas opuestas) coinciden en el ortocentro.

Por el contrario, un tetraedro cuyas bialturas son concurrentes es ortocéntrico, equifacial, o está formado por un diamante oblicuo y sus diagonales.

Punto de Monge y recta de Euler

Se tiene el siguiente teorema, debido a Gaspard Monge:

Si el tetraedro no es equifacial, en cuyo caso Plantilla:Mvar, estos tres puntos están alineados en la denominada recta de Euler por analogía con el caso del triángulo. Y cuando el tetraedro es ortocéntrico, el punto de Monge coincide con el ortocentro.

Esferas de Euler

Intersección de la primera esfera con una cara

Primera esfera de Euler

Los cuatro puntos medios de las aristas y los ocho pies de las perpendiculares comunes a las aristas opuestas son doce puntos de una misma esfera de centro Plantilla:Mvar. Las intersecciones de la esfera con las caras son sus círculos de Euler.

Segunda esfera de Euler

Los cuatro puntos ubicados en el tercio de los segmentos que unen Plantilla:Mvar con los vértices, los cuatro pies de las alturas y los cuatro centros de gravedad de las caras son doce puntos de la misma esfera centrada en la recta de Euler en Plantilla:Mvar, que verifica $\overrightarrow{H{O}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{HO}$. Es la imagen de la esfera circunscrita por la homotecia con centro Plantilla:Mvar y razón -1/3.

Línea de Euler con los puntos notables $G,H,O$. El punto $I$ agregado es el punto de intersección de las perpendiculares al plano de las caras en su centro de gravedad

Volumen del tetraedro ortocéntrico

Una primera fórmula es:

$V=\frac{1}{6}ab\delta$

donde Plantilla:Mvar son las longitudes de dos aristas opuestas y $\delta$ su distancia.

Las propiedades de las aristas implican que si solo cuatro de las seis aristas de un tetraedro ortocéntrico son de longitud conocida, se pueden calcular las longitudes de las otras dos si no son opuestas entre sí. Por lo tanto, el volumen de un tetraedro ortocéntrico se puede expresar en términos de cuatro longitudes de aristas Plantilla:Mvar.

La fórmula es:

$V=\frac{1}{6}\sqrt{4(a^2+a{\text{'}}^2)p(p-a)(p-b)(p-c)-a^2{b}^2{c}^2}$

donde Plantilla:Mvar son las longitudes de las aristas de una misma cara, $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ es el semi perímetro de esta cara y Plantilla:Mvar es la longitud de la arista opuesta a la de longitud Plantilla:Mvar.

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