Transformación de Jordan-Wigner

En mecánica cuántica, la transformación de Jordan-Wigner es un método teórico que usa la segunda cuantización para transformar operadores de espín en operadores creación y destrucción fermiónicos. En concreto, permite mostrar la equivalencia entre un modelo de Heisenberg unidimensional de espines 1/2 y un gas de Fermi unidimensional. El método fue publicado por Pascual Jordan y Eugene Wigner en 1928.

Esta operación transforma los espines «arriba» en fermiones o estados ocupados, y los espines «abajo» en estados sin ocupar. Si se definen $\{f_1^{†},f_1\}$ como operadores creación y destrucción de un fermión, se puede expresar el operador proyección del momento angular en el eje z y los operadores escalera de un espín aislado como:

$S_1^z=f_1^{†}{f}_1-\frac{1}{2}$

$S_1^{+}=f_1^{†}$

$S_1^{-}=f_1$

Puesto que los operadores de espín de sitios independientes conmutan mientras que los fermiones anticonmutan, cuando la transformación de Jordan-Wigner se aplica a una cadena se introduce una fase en los operadores escalera que, en la posición i depende de la ocupación de las posiciones 1 a i:

$S_i^z=f_i^{†}{f}_i-\frac{1}{2}$

$S_i^{+}=(-1{)}^{{\varphi }_i}{f}_i^{†}$

$S_i^{-}=(-1{)}^{{\varphi }_i}{f}_i$

donde ${\varphi }_i$ es el conteo de fermiones, o equivalentemente de espines «arriba», desde el origen de la cadena hasta la posición i:

${\varphi }_i=\sum _{k=1}^{i-1}(\frac{1}{2}+S_k^z)=\sum _{k=1}^{i-1}{f}_k^{†}{f}_k=\sum _{k=1}^{i-1}{S}_k^{+}{S}_k^{-}$