Transformada de Möbius

Plantilla:Otros usos En teoría de números, la transformada de Möbius, llamada así en honor a August Ferdinand Möbius es una transformación de funciones aritméticas. Si f es una función definida sobre los números enteros positivos, Tf viene dada por

$(Tf)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\mu \left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d\mid n}f\left(\frac{n}{d}\right)\mu (d)$

donde μ es la función de Möbius clásica. En un lenguaje más común y extendido por razones históricas, la función Tf se llama inversa de Möbius de f. (La notación d | n significa que d es un divisor de n).

La transformación toma funciones aritméticas, o sea, funciones f: N → C y devuelve funciones aritméticas. Sobre funciones generadas mediante series de Dirichlet, se corresponde a una división por la función zeta de Riemann.

La transformada inversa T^-1f viene dada por

$(T^{-1}f)(n)=\sum _{d\mid n}f(d).$

Relaciones con series

Sea

$a_n=\sum _{d\mid n}{b}_d$

de manera que

$b_n=\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)a_d$

sea su transformada de Möbius. Las transformadas están relacionadas por medio la serie de Lambert de la siguiente manera:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\frac{x^n}{1-x^n}$

y por medio de las series de Dirichlet:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n^s}$

donde $\zeta (s)$ es la función zeta de Riemann.

Véase también

• Fórmula de inversión de Möbius

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld