Triángulo aritmético de Fibonacci

Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad $1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n{)}^2$

El triángulo

1
5	3
11	9	7
19	17	15	13
29	27	25	23	21
41	39	37	35	33	31
55	53	51	49	47	45	43
71	69	67	65	63	61	59	57
89	87	85	83	81	79	77	75	73
109	107	105	103	101	99	97	95	93	91
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

La demostración

Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k². Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k ·k² = k³. La suma S de las primeras n filas consecutivas es $S=1^3+2^3+3^3+...+n^3$. Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m². De esta forma $S=(1+2+3+...+n{)}^2$ porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.

Propiedades elementales del triángulo de Fibonacci

• La k-ésima fila tiene k elementos.
• La suma de los elementos de la k-ésima fila es igual a k³.
• El menor número entero impar que forma parte de la k-ésima fila es igual a k² - (k - 1).
• El mayor número entero impar que está en la k-ésima fila es igual a k² + (k - 1).

Identidades deducidas del triángulo

Conocemos la identidad $1+2+3+...+n=\frac{n^2+n}{2}$, que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra. También sabemos que $1^3+2^3+3^3+...+n^3={\left(\frac{n^2+n}{2}\right)}^2$.

La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es $1^3+2^3+3^3+...+(n-1{)}^3={\left(\frac{{(n-1)}^2+(n-1)}{2}\right)}^2={\left(\frac{n^2-2\cdot n+1+n-1}{2}\right)}^2={\left(\frac{n^2-n}{2}\right)}^2$.

Evidentemente $n^3=(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-(1^3+2^3+3^3+...+(n-1{)}^3)={\left(\frac{n^2+n}{2}\right)}^2-{\left(\frac{n^2-n}{2}\right)}^2=$ $={\left(\frac{n^2+n}{2}\right)}^2-{\left(\frac{(n-1{)}^2+(n-1)}{2}\right)}^2$.

La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.

La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata: $n^{2j-1}={\left(\frac{n^j+n^{j-1}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{n^j-n^{j-1}}{2}\right)}^2$. Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.

Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.