Triángulo equilátero

Un triángulo equilátero y sus ángulos principales

En geometría, un triángulo equilátero es un polígono regular, es decir, tiene sus tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos son iguales.

Propiedades

El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, cada uno pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Por simetría del triángulo equilátero, se tiene que:

• Cada altura, mediana, bisectriz, mediatriz y eje de simetría de un triángulo equilátero coinciden sobre una misma recta. Por tanto el ortocentro, el baricentro, el incentro y el circuncentro coinciden en un mismo punto central.
• Considerando el baricentro, como centro de rotación, las rotaciones de 0°, 120° y 240° llevan la figura sobre sí misma, las reflexiones sobre cada una de las medianas llevan la figura sobre sí misma. Luego se puede establecer un grupo de movimientos del triángulo equilátero de orden 6. Además las tres rotaciones forman un subgrupo cíclico.
• Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantemente congruentes

.

• Los ángulos exteriores de un triángulo equilátero son de 120°

Formulario

Fórmulas relativas al valor del lado $a$ de un triángulo equilátero:

• Su perímetro es: $p=3\cdot a$

• La apotema es $a_p=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}$.

• El radio de la circunferencia exinscrita es $R_e=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• La relación entre los tres radios citados anteriormente es $R=2\cdot r=\frac{2}{3}\cdot R_e$. Además,

$\frac{3}{a}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}$

• El semiperímetro es $s=2R+(3\sqrt{3}-4)r\text{(Blundon)}$
• El área es: $A=a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$
  • El área en función de la altura $h$ del triángulo es: $A=h^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$
  • El área en función del radio $R$ de la circunferencia circunscrita es: $A=R^2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}$
  • El área en función del radio $r$ de la circunferencia inscrita es:$A=r^2\cdot 3\sqrt{3}$
  • El área en función del radio $R_e$ de la circunferencia exinscrita es:$A=R_e^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Construcciones

Según símbolo de Schläfli se pueden obtener las siguientes construcciones:

• {3/1} es el triángulo equilátero.

• {3,6} es el teselado del plano.

• {3,5} es el icosaedro.

• {3,4} es el octaedro.

• {3,3} es el tetraedro.

Utilización prehistórica

Yacimiento de Lepenski Vir

• Se utilizaron triángulos equiláteros como base de las construcciones descubiertas en el yacimiento prehistórico de Lepenski Vir, en Serbia.

Véase también

• Trigonometría
• Geometría
• Regla y compás
• Raíz cuadrada de 3
• Teorema de Viviani
• Teorema de Napoleón
• Polígono equilátero

Matriz de traducción

• Plantilla:MathWorld

Enlaces externos

• Animación interactiva.