Tridente de Newton

Trident d'équation y = x²+1/x

El tridente de Newton es el nombre que se le da a una curva estudiada por Isaac Newton. También se le conoce como parábola de Descartes, aunque no es una parábola.

Clasificación de las cúbicas

En un estudio realizado en 1676 y publicado en 1704, Newton intentó clasificar todas las curvas cúbicas, es decir, todas aquellas curvas planas cuya ecuación es de la forma:

$a{x}^3+b{x}^{2}y+cx{y}^2+d{y}^3+e{x}^2+fxy+g{y}^2+hx+iy+j=0$

Newton contó 72 tipos, que pueden clasificarse en cuatro clases:

1. las curvas de ecuación $x{y}^2+ey=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
2. las curvas de ecuación $xy=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
3. las curvas de ecuación $y^2=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
4. las curvas de ecuación $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

Los llamados tridentes de Newton son del tipo 2.

Ecuación cartesiana

Los tridentes de Newton tienen por ecuación cartesiana canónica:

$xy=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

donde a y d no son nulos.

Análisis

Dominio

El dominio de los tridentes de Newton es:

$D_f={ℝ}^{*}$

Derivada

Como son funciones racionales $D_f$, su derivada es:

$f^{\text{'}}(x)=2ax+b-\frac{d}{x^2}$

Límites

Límite en el infinito

En el infinito, los tridentes de Newton tienden a $+\mathrm{\infty }$, o bien a: $-\mathrm{\infty }$. Si a>0 entonces $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$. Si a<0 entonces $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Límites en 0

En 0, los tridentes de Newton tienden a $+\mathrm{\infty }$ o $-\mathrm{\infty }$.

Si d>0 entonces $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ y $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Si d<0 entonces $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ y $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Asíntotas

La asíntota de los tridentes de Newton es la parábola de ecuación:

$y=a{x}^2+bx+c$

También la hipérbola de ecuación:

$y=\frac{d}{x}$

Intersección con el eje de las abscisas

Hay entre uno y tres puntos de intersección entre la curva del tridente de Newton y el eje horizontal de acuerdo con el valor de los coeficientes a, b, c, d.