Vórtice de Lamb-Oseen

En dinámica de fluidos, el vórtice de Lamb – Oseen modela una línea vórtice que decae debido a la viscosidad. Este vórtice recibe el nombre de Horace Lamb y Carl Wilhelm Oseen ya que fueron ellos los descubridores.

Gráfico vectorial del campo de velocidad del vórtice de Lamb-Oseen.

Evolución de un vórtice de Lamb-Oseen en el aire en tiempo real. Las partículas de prueba que flotan libremente revelan el patrón de velocidad y vorticidad. (escala: la imagen tiene 20 cm de ancho)

Descripción matemática

Oseen buscó una solución para las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas $(r,\theta ,z)$ con componentes de velocidad $(v_r,v_{\theta },v_z)$ de la siguiente forma:

$v_r=0,v_{\theta }=\frac{\mathrm{\Gamma }}{2\pi r}g(r,t),v_z=0.$

donde $\mathrm{\Gamma }$ es la circulación del núcleo del vórtice. Esto lleva a reducirse a las ecuaciones de Navier-Stokes a

$\frac{\partial g}{\partial t}=\nu (\frac{{\partial }^{2}g}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial r})$

que cuando se somete a las condiciones que son regulares en $r=0$ y se convierte en la unidad como $r\to \mathrm{\infty }$, lleva a

$g(r,t)=1-{\mathrm{e}}^{-r^2/4\nu t},$

donde $\nu$ es la viscosidad cinemática. En $t=0$ tenemos un vórtice potencial con una concentración de vorticidad en el eje $z$ y esta vorticidad se dispersa con el paso del tiempo.

El único componente de vorticidad no nula está en la dirección $z$ dada por

${\omega }_z(r,t)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{4\pi \nu t}{\mathrm{e}}^{-r^2/4\nu t}.$

El campo de presión simplemente asegura que el vórtice gire en la dirección de la circunferencia, proporcionando la fuerza centrípeta

$\frac{\partial p}{\partial r}=\rho \frac{v^2}{r},$

donde ρ es la densidad constante.