Variación de parámetros

En matemáticas, la variación de parámetros, también conocida como variación de constantes, es un método general ideado por Joseph-Louis de Lagrange para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Normalmente es posible encontrar soluciones por factor integrante o por coeficientes indeterminados para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden con considerablemente menos esfuerzo, sin embargo, estos métodos involucran adivinar y no funcionan con todas las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

La variación de parámetros también se aplica en ecuaciones diferenciales parciales. Específicamente, se hace en problemas con ecuaciones diferenciales no homogéneas como lo son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de la plataforma vibratoria. En este contexto, el método es más comúnmente conocido como el principio de Duhamel (si la ecuación diferencial es de orden 1), descrito por Jean-Marie Duhamel, que fue el primero en aplicar este método para resolver la ecuación diferencial no homogénea del calor. Es por ello que a veces, el método de variación de parámetros es llamado el principio de Duhamel y vice-versa.

Historia

El método de variación de parámetros lo desarrolló por primera vez de forma explícita el matemático italo-francés Joseph-Louis Lagrange en el contexto de la mecánica celeste. Tras una primera versión de 1766,^[1] entre 1778 y 1783, Lagrange lo desarrolló en una serie de memorias publicadas: una sobre la variación del movimiento de los planetas^[2] y la otra sobre la determinación de la órbita de un cometa a partir de tres observaciones distintas.^[3] Finalmente entre 1808 y 1810, Lagrange dio al método de variación de los parámetros su forma final en una tercera serie de artículos.^[4]

Aun así, Lagrange no fue el primero en darse cuenta de la utilidad de la esencia del método, pues había sido empleado anteriormente de forma muy concreta (haciendo uso de la idea del método sin sistematizarlo) por los matemáticos Johann Bernoulli y Leonhard Euler. Euler lo implementó (de nuevo, indirectamente, pues no era un método per se) en tres investigaciones concretas (1748,1749 y1753).^[5]^[6]^[7]

Explicación del método

Consideramos la ecuación lineal de orden $n$

y^{(n)} + a_{1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{n - 1} (t) y^{'} + a_{n} (t) y = f (t)

.

(1)

Dadas $n$ soluciones linealmente independientes $y_{1} (t), \dots, y_{n} (t)$ de la ecuación homogénea asociada (con $f = 0$ ) queremos encontrar una solución particular de $(1)$ . Definiendo

\vec{x} : = (\begin{matrix} y \\ y^{'} \\ ⋮ \\ y^{(n - 1)} \end{matrix}), A : = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{n} (t) & - a_{n - 1} (t) & \dots & \dots & - a_{1} (t) \end{matrix}) y \vec{b} : = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ f (t) \end{matrix}),

podemos escribir la ecuación $(1)$ como el sistema lineal no homogéneo de orden 1 siguiente:

{\vec{x}}^{'} = A \vec{x} + \vec{b}

(2)

.

En este caso,

{\vec{x}}_{1} : = (\begin{matrix} y_{1} \\ {y_{1}}^{'} \\ ⋮ \\ y_{1}^{(n - 1)} \end{matrix}), {\vec{x}}_{2} : = (\begin{matrix} y_{2} \\ {y_{2}}^{'} \\ ⋮ \\ y_{2}^{(n - 1)} \end{matrix}), \dots, {\vec{x}}_{n} : = (\begin{matrix} y_{n} \\ {y_{n}}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n}^{(n - 1)} \end{matrix})

son $n$ soluciones linealmente independientes al sistema homogéneo asociado (con $\vec{b} = 0$ ), por lo que la solución general de dicho sistema es

C_{1} {\vec{x}}_{1} + C_{2} {\vec{x}}_{2} + \dots + C_{n} {\vec{x}}_{n}

con

C_{1}, \dots, C_{n} \in ℝ

constates arbitrarias.

Ahora, para buscar una solución particular ${\vec{x}}_{p}$ de $(2)$ , sustituiremos las constantes $C_{1}, \dots, C_{n}$ en la expresión anterior por funciones escalares $u_{1} (t), \dots, u_{n} (t)$ desconocidas que trataremos de hallar. Es decir, buscamos una solución particular de la forma

{\vec{x}}_{p} = u_{1} {\vec{x}}_{1} + \dots + u_{n} {\vec{x}}_{n}

.

Esto es precisamente lo que constituye la idea del método de variación de parámetros.

Utilizando que ${\vec{x}}_{1}, \dots, {\vec{x}}_{n}$ son soluciones de ${\vec{x}}^{'} = A \vec{x}$ , se obtiene que

\vec{x}'_{p} = ({u_{1}}^{'} {\vec{x}}_{1} + \dots + {u_{n}}^{'} {\vec{x}}_{n}) + A (u_{1} {\vec{x}}_{1} + \dots + u_{n} {\vec{x}}_{n}) = ({u_{1}}^{'} {\vec{x}}_{1} + \dots + {u_{n}}^{'} {\vec{x}}_{n}) + A {\vec{x}}_{p}

,

por lo que si imponemos que ${\vec{x}}_{p}$ sea solución de $(2)$ , se tiene que cumplir que

\vec{b} = {u_{1}}^{'} {\vec{x}}_{1} + \dots + u'_{n} {\vec{x}}_{n}

,

es decir,

{\begin{matrix} y_{1} {u_{1}}^{'} + \dots + y_{n} {u_{n}}^{'} = 0, \\ y'_{1} {u_{1}}^{'} + \dots + y'_{n} {u_{n}}^{'} = 0, \\ ⋮ \\ y_{1}^{(n - 1)} {u_{1}}^{'} + \dots + y_{n}^{(n - 1)} {u_{n}}^{'} = f (t) . \end{matrix} (3)

La solución de este sistema es $M^{- 1} \vec{b}$ donde

M = (\begin{matrix} y_{1} & \dots & y_{n} \\ y'_{1} & \dots & y'_{n} \\ \dots & \dots & \dots \\ y_{1}^{(n - 1)} & \dots & y_{n}^{(n - 1)} \end{matrix})

.

Nótese que $M^{- 1}$ existe gracias a que su determinante es distinto de cero, pues $y_{1}, \dots, y_{n}$ son soluciones linealmente independientes de $(1)$ . De hecho, el determinante de la matriz $M$ es precisamente el Wronskiano,

W_{n} [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}] = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} & \dots & y_{n} \\ y'_{1} & y'_{2} & \dots & y'_{n} \\ \dots & \dots & \dots \\ y_{1}^{(n - 1)} & y_{2}^{(n - 1)} & \dots & y_{n}^{(n - 1)} \end{matrix} | .

Como todas las componentes del vector $\vec{b}$ son cero salvo la última, solo hace falta conocer la última columna de $M^{- 1}$ , luego la solución $M^{- 1} \vec{b}$ al sistema $(3)$ es

(\begin{matrix} {u_{1}}^{'} \\ {u_{2}}^{'} \\ ⋮ \\ u'_{n} \end{matrix}) = \frac{f (t)}{W_{n} [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}]} (\begin{matrix} (- 1)^{n - 1} W_{n - 1} [y_{2}, y_{3}, \dots, y_{n}] \\ (- 1)^{n - 2} W_{n - 1} [y_{1}, y_{3}, \dots, y_{n}] \\ ⋮ \\ W_{n - 1} [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n - 1}] \end{matrix}) .

Integrando $u'_{1}, \dots, u'_{n}$ se obtiene explícitamente $u_{i}$ para $i = 1 \dots n$ y la solución particular buscada de $(2)$ es

{\vec{x}}_{p} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (t) {\vec{x}}_{i} (t) .

Como ${\vec{x}}_{i}$ para $i = 1 \dots n$ tiene como primera componente $y_{i}$ , entonces se obtiene que

y_{p} = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (t) y_{i} (t)

es una solución particular de $(1)$ .

Notas

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Plantilla:Cita libro
Plantilla:Cita libro, pages 186-192, 237-241
Plantilla:Cita libro
H. Ibragimov, N. H. I. (Ed.1). (2009). Archives of ALGA (Vol. 6). ALGA publications.
Plantilla:Cita libro : Parte4, Cap 16, Parte01; Parte 7, Cap25, Parte01; Parte4, Cap16, Parte03; Parte5, Cap17, Parte02.
G.F. Simmons: “Differential Equations with Applications and Historical Notes, Third Edition (2016)” : Capítulo 3, Apéndice A. Página 170; Capítulo 3, Páginas 133-136; Capítulo 12, Apéndice A, Página 606.

Enlaces externos

Online Notes / Proof by Paul Dawkins, Lamar University.
PlanetMath page.
Motivation of method via celestial mechanics

Plantilla:Control de autoridades

↑ Lagrange, J.-L. (1766) “Solution de différens problèmes du calcul integral,” Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin, vol. 3, pages 179–380.
↑
Véase:
- Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 199–276.
- Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 169–292.
- Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variations périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 161–190.
↑
Véase:
- Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, premier mémoire" (On the problem of determining the orbits of comets from three observations, first memoir), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 111–123 [published in 1780].
- Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, second mémoire", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 124–161 [published in 1780].
- Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations. Troisième mémoire, dans lequel on donne une solution directe et générale du problème.", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 296–332 [published in 1785].
↑
Véase:
- Lagrange, J.-L. (1808) “Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 713–768.
- Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 771–805.
- Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, ... ,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 809–816.
↑ Investigación sobre las perturbaciones conjuntas de Júpiter y Saturno: Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l’Académie Royale des Sciences de Paris" [Investigations on the question of the differences in the movement of Saturn and Jupiter; this subject proposed for the prize of 1748 by the Royal Academy of Sciences (Paris)] (Paris, France: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749).
↑ Estudio del movimiento de la Tierra para las que obtuvo ciertas ecuaciones diferenciales de los cuerpos orbitales: Euler, L. (1749) "Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l’axe de la terre," Histoire [or Mémoires ] de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 289–325 [published in 1751].
↑ Estudio del movimiento de la Luna: Euler, L. (1753) Theoria motus lunae: exhibens omnes ejus inaequalitates ... [The theory of the motion of the moon: demonstrating all of its inequalities ... ] (Saint Petersburg, Russia: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Imperial Academy of Science (St. Petersburg)], 1753).

[1] Lagrange, J.-L. (1766) “Solution de différens problèmes du calcul integral,” Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin, vol. 3, pages 179–380.

[2] Véase:
Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 199–276.

Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 169–292.

Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variations périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 161–190.

[3] Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 199–276.

[4] Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 169–292.

[5] Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variations périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, ... ," Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 161–190.

[3] Véase:
Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, premier mémoire" (On the problem of determining the orbits of comets from three observations, first memoir), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 111–123 [published in 1780].

Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, second mémoire", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 124–161 [published in 1780].

Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations. Troisième mémoire, dans lequel on donne une solution directe et générale du problème.", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 296–332 [published in 1785].

[7] Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, premier mémoire" (On the problem of determining the orbits of comets from three observations, first memoir), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 111–123 [published in 1780].

[8] Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, second mémoire", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 124–161 [published in 1780].

[9] Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations. Troisième mémoire, dans lequel on donne une solution directe et générale du problème.", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 296–332 [published in 1785].

[4] Véase:
Lagrange, J.-L. (1808) “Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 713–768.

Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 771–805.

Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, ... ,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 809–816.

[11] Lagrange, J.-L. (1808) “Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 713–768.

[12] Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 771–805.

[13] Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, ... ,” Mémoires de la première Classe de l’Institut de France. Reprinted in: Joseph-Louis Lagrange with Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (Paris, France: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, pages 809–816.

[5] Investigación sobre las perturbaciones conjuntas de Júpiter y Saturno: Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l’Académie Royale des Sciences de Paris" [Investigations on the question of the differences in the movement of Saturn and Jupiter; this subject proposed for the prize of 1748 by the Royal Academy of Sciences (Paris)] (Paris, France: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749).

[6] Estudio del movimiento de la Tierra para las que obtuvo ciertas ecuaciones diferenciales de los cuerpos orbitales: Euler, L. (1749) "Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l’axe de la terre," Histoire [or Mémoires ] de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlin), pages 289–325 [published in 1751].

[7] Estudio del movimiento de la Luna: Euler, L. (1753) Theoria motus lunae: exhibens omnes ejus inaequalitates ... [The theory of the motion of the moon: demonstrating all of its inequalities ... ] (Saint Petersburg, Russia: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Imperial Academy of Science (St. Petersburg)], 1753).

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Historia

Explicación del método

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