Variedad lineal

En geometría y álgebra, una variedad lineal es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Geométricamente, es la generalización a cualquier número de dimensiones de las rectas y los planos. También es el concepto análogo al de subespacio vectorial en el ámbito de la geometría afín (es decir, una variedad lineal es la denominación correcta de lo que intuitivamente denominaríamos «subespacio afín»).

Definición

Sea un subconjunto no vacío X de un espacio vectorial E sobre K, X se llama variedad lineal en E si para todo f, g de X y todo α, β de K : α f + β g está en X.

En espacio afín

Sea $𝕂$ un cuerpo. Sea $(𝔸,E,\phi )$ un espacio afín definido sobre $𝕂$. Se dice que $V\subset 𝔸$ es una variedad lineal si $V$ es también un espacio afín $(V,F,{\phi }^{\prime })$ definido sobre cierto espacio vectorial $F\subseteq E$ y con cierta aplicación ${\phi }^{\prime }$.

Definiciones alternativas

Siguiendo con la notación anterior, si $E$ es el espacio vectorial asociado a $𝔸$, se dice que $V\subseteq 𝔸$ es variedad lineal si existen un subespacio vectorial $F\subseteq E$ y un $p\in 𝔸$ de manera que $V=p+F=\{p+u:u\in F\}$.

Equivalencia con la primera definición

Vamos a ver que todo subconjunto $V\subseteq 𝔸$ definido como $V=p+F=\{p+v:v\in V\}$ es, en efecto, un espacio afín $(V,F,\phi {|}_{V\times V})$ definido sobre el espacio vectorial $F\subseteq E$ y con $\phi {|}_{V\times V}$ la restricción de $\phi$ a los elementos de $V$, por lo que $V$ es una variedad lineal según la primera definición:

Plantilla:DemostraciónPara acabar de demostrar que las dos definiciones son equivalentes, vamos a ver el recíproco: si tenemos un subconjunto $V\subseteq 𝔸$ tal que es un espacio afín $(V,F,{\phi }^{\prime })$ sobre un espacio vectorial $F\subseteq E$ y con una aplicación ${\phi }^{\prime }$, entonces $V$ se puede expresar como $V=p+G=\{p+u,u\in G\}$, con $p\in V$y $G$ subespacio vectorial de $E$. Vamos a ver que $V$ se puede expresar como $V=p+F$. Plantilla:Demostración

Operaciones con variedades lineales

Intersección

Dado un cuerpo $𝕂$ y un espacio afín $(𝔸,E,\phi )$ definido sobre $𝕂$ y dadas dos variedades lineales $V=p+F$, $W=q+G$, con $p,q\in 𝔸$ y $F,G\subseteq E$ subespacios, definimos la intersección de $V$ y $W$ como

$V\cap W=\{p\in 𝔸:p\in V,p\in W\}$.

Diremos que $V$ y $W$ se cortan si $V\cap W\ne \mathrm{\varnothing }$. Plantilla:Demostración Esto nos permite afirmar que si $V$ y $W$ se cortan, entonces $V\cap W$ es una variedad lineal, pues si $V$ y $W$ tienen un punto $a\in 𝔸$ en común, entonces Plantilla:Demostración y esta es la forma que tienen en general las variedades lineales.

Suma

Dado un cuerpo $𝕂$ y un espacio afín $(𝔸,E,\phi )$ definido sobre $𝕂$ y dadas dos variedades lineales $V=p+F$, $W=q+G$, con $p,q\in 𝔸$ y $F,G\subseteq E$ subespacios, definimos la suma de $V$ y $W$ como la variedad lineal más pequeña que contiene a $V$ y a $W$ a la vez, y la denotamos como $V\vee W$.

$V\vee W$ es una variedad lineal, pues Plantilla:Demostración y esta es la forma que tienen en general las variedades lineales.

Fórmula de Grassmann para variedades lineales

Si definimos la dimensión de una variedad lineal $V=p+F$ como la dimensión de $F$ ($\text{dim }F$), y consideramos las variedades lineales $V=p+F$ y $W=q+G$, tenemos las siguientes igualdades:

1. Si

$V\cap W\ne \mathrm{\varnothing }$

,

$\text{dim }(V\vee W)=\text{dim }V+\text{dim }W-\text{dim }(V\cap W)$.

2. Si $V\cap W=\mathrm{\varnothing }$,

$\text{dim }(V\vee W)=\text{dim }V+\text{dim }W+1-\text{dim }(F\cap G)$.