Vector isótropo

Un cono nulo, en el que $q(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$

En matemáticas, dado un espacio vectorial X con una forma cuadrática q asociada (denotado como Plantilla:Nowrap), un vector isótropo (o también vector isotrópico) es un elemento x de X distinto de cero, para el que Plantilla:Nowrap.

En la teoría de formas bilineales reales, formas bilineales definidas y formas cuadráticas isótropas son distintos. Se distinguen porque solo para este último existe un vector nulo distinto de cero.

Un espacio cuadrático Plantilla:Nowrap que tiene un vector nulo se llama espacio pseudoeuclídeo.

Un espacio vectorial pseudoeuclídeo se puede descomponer (de forma no única) en dos espacios ortogonales A y B, Plantilla:Nowrap, donde q es positivo-definido en A y negativo-definido en B. El cono nulo, o cono isótropo, de X consiste en la unión de esferas equilibradas:

$\bigcup _{r\ge 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,a\in A,b\in B\}.$

El cono nulo es también la unión de las dos rectas isótropas a través del origen.

Álgebras divididas

Un álgebra de composición con un vector nulo es un álgebra dividida.

En un álgebra de composición (A, +, ×, *), la forma cuadrática es q(x) = x x*. Cuando x es un vector nulo, entonces no hay inverso multiplicativo para x y, dado que x ≠ 0, A no es un álgebra de división.

En la construcción de Cayley-Dickson, las álgebras divididas surgen en la serie de números bicomplejos, bicuaterniones y bioctoniones, que utiliza el cuerpo de los números complejos $ℂ$ como base de esta construcción de duplicación debida a Leonard Eugene Dickson (1919). En particular, estas álgebras tienen dos unidades imaginarias, que conmutan de modo que su producto, cuando se eleva al cuadrado, produce +1:

$(hi{)}^2=h^2{i}^2=(-1)(-1)=+1.$ Entonces

$(1+hi)(1+hi{)}^{*}=(1+hi)(1-hi)=1-(hi{)}^2=0$ y entonces (1 + hi) es un vector nulo.

Las subálgebras reales, los números complejos hiperbólicos, los cuaterniones divididos y los octoniones divididos, con sus conos nulos que representan el seguimiento de la luz dentro y fuera de 0 ∈ A, sugieren la topología del espacio tiempo.

Ejemplos

• Los vectores como de luz del espacio-tiempo de Minkowski son vectores nulos.

• Los cuatro bicuaterniones independientemente lineales Plantilla:Nowrap, Plantilla:Nowrap, Plantilla:Nowrap y Plantilla:Nowrap son vectores nulos; y Plantilla:Nowrap} puede servir como base para el subespacio utilizado para representar el espacio-tiempo. Los vectores nulos también se utilizan en el enfoque del formalismo de Newman-Penrose para variedades de espacio-tiempo.

• En el módulo de Verma de un álgebra de Lie hay vectores nulos.

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book