Vectores Q

Los vectores Q se utilizan en dinámica atmosférica para comprender procesos físicos como el movimiento vertical y la frontogénesis. Los vectores Q no son cantidades físicas que se puedan medir en la atmósfera, sino que se derivan de las ecuaciones cuasi-geostróficas y se pueden usar en las situaciones de diagnóstico anteriores. En los gráficos meteorológicos, los vectores Q apuntan hacia el movimiento hacia arriba y hacia el lado opuesto al movimiento hacia abajo. Los vectores Q son una alternativa a la ecuación omega para diagnosticar el movimiento vertical en las ecuaciones cuasi-geostróficas.

Derivaciones

First derived in 1978, Q-vector derivation can be simplified for the midlatitudes, using the midlatitude β-plane quasi-geostrophic prediction equations:

1. $\frac{D_g{u}_g}{Dt}-f_0{v}_a-\beta y{v}_g=0$ (x component of quasi-geostrophic momentum equation)
2. $\frac{D_g{v}_g}{Dt}+f_0{u}_a+\beta y{u}_g=0$ (y component of quasi-geostrophic momentum equation)
3. $\frac{D_{g}T}{Dt}-\frac{\sigma p}{R}\omega =\frac{J}{c_p}$ (quasi-geostrophic thermodynamic equation)

And the thermal wind equations:

$f_0\frac{\partial u_g}{\partial p}=\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial y}$ (x component of thermal wind equation)

$f_0\frac{\partial v_g}{\partial p}=-\frac{R}{p}\frac{\partial T}{\partial x}$ (y component of thermal wind equation)

where $f_0$ is the Coriolis parameter, approximated by the constant 1e⁻⁴ s⁻¹; $R$ is the atmospheric ideal gas constant; $\beta$ is the latitudinal change in the Coriolis parameter $\beta =\frac{\partial f}{\partial y}$; $\sigma$ is a static stability parameter; $c_p$ is the specific heat at constant pressure; $p$ is pressure; $T$ is temperature; anything with a subscript $g$ indicates geostrophic; anything with a subscript $a$ indicates ageostrophic; $J$ is a diabatic heating rate; and $\omega$ is the Lagrangian rate change of pressure with time. $\omega =\frac{Dp}{Dt}$. Note that because pressure decreases with height in the atmosphere, a negative value of $\omega$ is upward vertical motion, analogous to $+w=\frac{Dz}{Dt}$.

From these equations we can get expressions for the Q-vector:

$Q_i=-\frac{R}{\sigma p}[\frac{\partial u_g}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial x}+\frac{\partial v_g}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial y}]$

$Q_j=-\frac{R}{\sigma p}[\frac{\partial u_g}{\partial y}\frac{\partial T}{\partial x}+\frac{\partial v_g}{\partial y}\frac{\partial T}{\partial y}]$

And in vector form:

$Q_i=-\frac{R}{\sigma p}\frac{\partial \overrightarrow{V_g}}{\partial x}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T$

$Q_j=-\frac{R}{\sigma p}\frac{\partial \overrightarrow{V_g}}{\partial y}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T$

Plugging these Q-vector equations into the quasi-geostrophic omega equation gives:

$(\sigma \overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}+f_{\circ }^2\frac{{\partial }^2}{\partial p^2})\omega =-2\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{Q}+f_{\circ }\beta \frac{\partial v_g}{\partial p}-\frac{\kappa }{p}\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}J$

If second derivatives are approximated as a negative sign, as is true for a sinusoidal function, the above in an adiabatic setting may be viewed as a statement about upward motion:

$-\omega \propto -2\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{Q}$

Expanding the left-hand side of the quasi-geostrophic omega equation in a Fourier Series gives the $-\omega$ above, implying that a $-\omega$ relationship with the right-hand side of the quasi-geostrophic omega equation can be assumed.

This expression shows that the divergence of the Q-vector ($\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{Q}$) is associated with downward motion. Therefore, convergent $\overrightarrow{Q}$ forces ascent and divergent $\overrightarrow{Q}$ forces descend. Q-vectors and all ageostrophic flow exist to preserve thermal wind balance. Therefore, low level Q-vectors tend to point in the direction of low-level ageostrophic winds.

Aplicaciones

Los vectores Q se pueden determinar completamente con: altura geopotencial ({\ estilo de visualización \ Phi}\Fi) y la temperatura en una superficie de presión constante. Los vectores Q siempre apuntan en la dirección del aire ascendente. Para un ciclón y anticiclón idealizados en el hemisferio norte (donde $\frac{\partial T}{\partial y}<0$), los ciclones tienen vectores Q que apuntan paralelos al viento térmico y los anticiclones tienen vectores Q que apuntan antiparalelos al viento térmico. Esto significa movimiento hacia arriba en el área de advección de aire cálido y movimiento hacia abajo en el área de advección de aire frío.

En la frontogénesis, los gradientes de temperatura deben ajustarse para la iniciación. Para esas situaciones, los vectores Q apuntan hacia el aire ascendente y los gradientes térmicos cada vez más estrechos. En áreas de vectores Q convergentes, se crea vorticidad ciclónica, y en áreas divergentes, se crea vorticidad anticiclónica.