Ecuación de Böttcher

La ecuación de Böttcher es la ecuación funcional.

$F(h(z))=(F(z){)}^n$

donde

• Plantilla:Mvar es una función analítica dada con un punto fijo superatrayente de orden Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar, (es decir, $h(z)=a+c(z-a{)}^n+O((z-a{)}^{n+1}),$ en un entorno de Plantilla:Mvar), con n ≥ 2
• Plantilla:Math es una función buscada.

El logaritmo de esta ecuación funcional equivale a la ecuación de Schröder.

Nombre

La ecuación lleva el nombre de Lucjan Böttcher.

Solución

La solución de la ecuación funcional es una función en forma implícita .

Lucian Emil Böttcher bosquejó una prueba en 1904 sobre la existencia de una solución: una función analítica F en una vecindad del punto fijo a, tal que:

$F(a)=0$

Esta solución a veces se llama:

• la coordenada de Böttcher
• La función Böttcher
• el mapa de Boettcher

La prueba completa fue publicada por Joseph Ritt en 1920, que desconocía la formulación original.

La coordenada de Böttcher (el logaritmo de la función de Schröder ) conjuga Plantilla:Mvar en una vecindad del punto fijo a la función Plantilla:Math. Un caso especialmente importante es cuando Plantilla:Math es un polinomio de grado Plantilla:Mvar , y Plantilla:Mvar = ∞.

Ejemplos

Para la función h y n = 2

$h(x)=\frac{x^2}{1-2x^2}$

la función F de Böttcher es:

$F(x)=\frac{x}{1+x^2}$

Aplicaciones

La ecuación de Böttcher desempeña un papel fundamental en la parte de la dinámica holomórfica que estudia la iteración de polinomios de una variable compleja .

Las propiedades globales de la coordenada de Böttcher fueron estudiadas por Fatou y Douady y Hubbard.

Véase también

• Ecuación de Schröder
• Rayo externo