Función analítica
En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un conjunto abierto siempre son localmente analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Esto se demuestra en el artículo Analiticidad de las funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica. Cabe dejar constancia que las clases más importantes de funciones que ocurren en el análisis clásico y en sus aplicaciones a los problemas de mecánica y física son analíticas, salvo en algunos puntos singulares de estas funciones.
Definición
La definición de función analítica es idéntica para los casos real y complejo: Plantilla:Definición De esta definición se puede demostrar la siguiente caracterización alternativa: Plantilla:Teorema Una función se dice analítica en un conjunto U si es analítica en cada punto de U. El conjunto de todas las funciones analíticas en un cierto abierto U se denota por Cω(U).
Varias variables
La definición de función analítica puede extenderse para funciones (reales o complejas) de varias variables (definidas en Rn o Cn), sin más que considerar series de potencias de varias variables: Plantilla:Ecuación
Funciones holomorfas
Plantilla:AP En el caso de las funciones complejas analíticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho más sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales del análisis complejo: Plantilla:Teorema Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables: Plantilla:Teorema
Funciones suaves no analíticas
En variable real pueden encontrarse funciones suaves que no son analíticas. Un ejemplo de ello es la función: Plantilla:Ecuación Esta función es infinitamente derivable para cualquier x ∈ R, y en particular todas sus derivadas en 0 son nulas: f(n)(0) = 0. Por tanto, su serie de Taylor alrededor de 0 es idénticamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.
Referencias
- Plantilla:Cita libro Capítulo 1.
- Plantilla:Cita libro Capítulo 1.
- Complex Analysis Ahlfors, Lars V. Mc Graw-Hill Company, Inc. Tokyo 1953
- Teoría de las funciones analíticas Tomo I, Markushevich, A. traducción de Emiliano Aparicio Bernardo (sic) A. Editorial Mir, Moscú, 1970