Teorema de las unidades de Dirichlet

En matemáticas, el teorema de las unidades de Dirichlet es un resultado básico en teoría de números algebraicos formalizado por el matemático alemán a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Determina el rango del grupo de unidades en el anillo Plantilla:Math de los números enteros algebraicos de un cuerpo numérico Plantilla:Mvar. El regulador es un número real positivo que determina la densidad de las unidades.

Enunciado

El teorema afirma que el grupo de unidades se genera de forma finita y tiene rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a:

Plantilla:Math

donde Plantilla:Math es el número de incrustaciones reales y Plantilla:Math el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de Plantilla:Mvar. Esta caracterización de Plantilla:Math y Plantilla:Math se basa en la idea de que habrá tantas formas de incrustar Plantilla:Mvar en el campo de los números complejos como el grado Plantilla:Math; estos estarán en los números reales, o serán pares de incrustaciones relacionadas por sus conjugados, de modo que

Plantilla:Math.

Se debe tener en cuenta que si Plantilla:Mvar es galoisiano sobre Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math = 0 o Plantilla:Math = 0.

Otras formas de determinar Plantilla:Math y Plantilla:Math son

• Usando el teorema del elemento primitivo para explicitar que Plantilla:Math, y entonces Plantilla:Math es el número de conjugados de Plantilla:Mvar que son reales, y Plantilla:Math es el número de los que son complejos; en otras palabras, si Plantilla:Mvar es el polinomio mínimo de Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math es el número de raíces reales y Plantilla:Math es el número de raíces complejas no reales de Plantilla:Mvar (que vienen en pares conjugados complejos);
• Partiendo del producto tensorial Plantilla:Math como un producto de cuerpos, habiendo Plantilla:Math copias de Plantilla:Math y Plantilla:Math copias de Plantilla:Math.

Por ejemplo, si Plantilla:Mvar es un cuerpo cuadrático, el rango es 1 si es un campo cuadrático real y 0 si es un campo cuadrático imaginario. La teoría de los campos cuadráticos reales es esencialmente la teoría de la ecuación de Pell.

El rango es positivo para todos los campos numéricos además de Plantilla:Math y los campos cuadráticos imaginarios, que tienen rango 0. El tamaño de las unidades se mide en general mediante un determinante denominado regulador. En principio, la base de las unidades puede calcularse de forma eficiente; aunque en la práctica los cálculos son bastante complicados cuando Plantilla:Mvar es grande.

La torsión en el grupo de unidades es el conjunto de todas las raíces de la unidad de Plantilla:Mvar, que forman un grupo cíclico finito. Para un campo numérico con al menos una incrustación real, la torsión debe ser solo Plantilla:Math. Hay campos numéricos, por ejemplo, la mayoría de los cuerpos cuadráticos imaginarios, que no tienen incrustaciones reales, también poseen Plantilla:Math para la torsión de su grupo de unidades.

Los campos totalmente reales son especiales con respecto a las unidades. Si Plantilla:Math es una extensión finita de campos numéricos con grado mayor que 1 y los grupos de unidades para los números enteros de Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar tienen el mismo rango, entonces Plantilla:Mvar es totalmente real y Plantilla:Mvar es una extensión cuadrática totalmente compleja. Lo contrario también se mantiene (un ejemplo es Plantilla:Mvar igual a los racionales y Plantilla:Mvar igual a un campo cuadrático imaginario; ambos tienen rango de unidad 0).

El teorema no solo se aplica al orden máximo Plantilla:Mvar sino a cualquier orden Plantilla:Math.

Existe una generalización del teorema de la unidad por Helmut Hasse (y más tarde por Claude Chevalley) para describir la estructura del grupo de [[unidad S|unidades Plantilla:Mvar]], determinando el rango del grupo unitario en localizaciones de anillos de números enteros. Además, se ha determinado la estructura del módulo de Galois de Plantilla:Math.Plantilla:Sfn

Regulador

Supóngase que K es un campo numérico y $u_1,\dots ,u_r$ son un conjunto de generadores para el grupo unitario de K raíces módulo de la unidad. Habrá Plantilla:Math lugares arquimedianos de K, ya sean reales o complejos. Para $u\in K$, se escribe $u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}$ para las diferentes incrustaciones en Plantilla:Math o Plantilla:Math y se establece Plantilla:Math en 1 o 2 si la incrustación correspondiente es real o compleja, respectivamente. Entonces, la matriz Plantilla:Math$${(N_j\log \left|u_i^{(j)}\right|)}_{i=1,\dots ,r,j=1,\dots ,r+1}$$ tiene la propiedad de que la suma de cualquier fila es cero (porque todas las unidades tienen la norma 1 y el logaritmo de la norma es la suma de las entradas en una fila). Esto implica que el valor absoluto Plantilla:Mvar del determinante de la submatriz formado al eliminar una columna es independiente de la columna. El número Plantilla:Mvar se denomina regulador del campo numérico algebraico (no depende de la elección de los generadores Plantilla:Math). Mide la densidad de las unidades: si el regulador es pequeño, significa que hay muchas unidades.

El regulador tiene la siguiente interpretación geométrica. La aplicación que relaciona una unidad Plantilla:Mvar al vector con entradas $N_j\log \left|u^{(j)}\right|$ tiene una imagen en el subespacio dimensional Plantilla:Mvar de Plantilla:Math que consta de todos los vectores cuyas entradas tienen una suma 0 y, según el teorema de la unidad de Dirichlet, la imagen es una red en este subespacio. El volumen de un dominio fundamental de esta red es Plantilla:Math.

El regulador de un campo numérico algebraico de grado superior a 2 suele ser bastante complicado de calcular, aunque ahora existen paquetes de álgebra informática que pueden hacerlo en muchos casos. Por lo general, es mucho más fácil calcular el producto Plantilla:Mvar del número de clase Plantilla:Mvar y el regulador usando la fórmula del número de clase, y la principal dificultad para calcular el número de clase de un campo numérico algebraico suele ser el cálculo del regulador.

Ejemplos

Un dominio fundamental en el espacio logarítmico del grupo de unidades del campo cúbico cíclico Plantilla:Mvar obtenido al unir a Plantilla:Math una raíz de Plantilla:Math. Si Plantilla:Mvar denota una raíz de Plantilla:Math, entonces un conjunto de unidades fundamentales es Plantilla:Math, donde Plantilla:Math y Plantilla:Math. El área del dominio fundamental es aproximadamente 0,910114, por lo que el regulador de Plantilla:Mvar es aproximadamente 0,525455.

• El regulador de un cuerpo cuadrático, o de los enteros racionales, es 1 (ya que el determinante de una matriz 0 × 0 es 1).
• El regulador de un cuerpo cuadrático es el logaritmo de su unidad fundamental: por ejemplo, el de

Plantilla:Math es Plantilla:Math.

Esto se puede ver de la siguiente manera. Una unidad fundamental es Plantilla:Math, y sus imágenes según las dos incrustaciones en Plantilla:Math son Plantilla:Math y Plantilla:Math. Entonces, la matriz Plantilla:Math es

$[1\times \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right|,1\times \log \left|\frac{-\sqrt{5}+1}{2}\right|].$

• El regulador de un cuerpo cúbico cíclico Plantilla:Math, donde Plantilla:Mvar es una raíz de Plantilla:Math, es aproximadamente 0.5255. Una base del grupo de unidades modulares raíces de la unidad es Plantilla:Math donde Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Reguladores superiores

Un regulador superior se refiere a la construcción de una función en un K-grupo algebraico con índice Plantilla:Math que desempeña el mismo papel que el regulador clásico para el grupo de unidades, que es un grupo Plantilla:Math. Se ha estado desarrollando una teoría de tales reguladores, con el trabajo de Armand Borel y otros. Tales reguladores superiores juegan un papel, por ejemplo, en las conjeturas de Beilinson, y se espera que intervengan en las evaluaciones de ciertas funciones L en valores enteros del argumento. Véase también regulador de Beilinson.

Regulador de Stark

La formulación de las conjeturas de Stark llevó a Harold Stark a definir lo que ahora se llama el regulador de Stark, similar al regulador clásico como determinante de logaritmos de unidades, adjunto a cualquier representación de Artin.

Regulador Plantilla:Mvar-ádico

Sea Plantilla:Mvar un cuerpo de números algebraicos y para cada primo Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar por encima de algún primo racional fijo Plantilla:Mvar, se denomina Plantilla:Math a las unidades locales en Plantilla:Mvar; y sea Plantilla:Math el subgrupo de unidades principales en Plantilla:Math. Estableciendo que

$U_1=\prod _{P|p}{U}_{1,P}.$

Entonces, se denomina Plantilla:Math al conjunto de unidades globales Plantilla:Mvar que se asignan a Plantilla:Math a través de la incrustación diagonal de las unidades globales en Plantilla:Mvar.

Dado que Plantilla:Math es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango Plantilla:Math. El regulador Plantilla:Mvar-ádico es el determinante de la matriz formada por los logaritmos Plantilla:Mvar-ádicos de los generadores de este grupo. La conjetura de Leopoldt establece que este determinante es distinto de cero.

Véase también

• Unidad elíptica
• Unidad ciclotómica
• Teorema de la unidad de Shintani

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro