Función G de Barnes

En matemática, la función G de Barnes G(z) es una función que extiende los superfactoriales a los números complejos. Está relacionada con la función gamma, la función K y la constante de Glaisher–Kinkelin, y fue llamada así en honor al matemático Ernest William Barnes.^[1] Puede ser escrita en términos de la función gamma doble.

Formalmente, la función G de Barnes se define mediante el siguiente producto de Weierstrass:

G (1 + z) = (2 π)^{z / 2} \exp (- \frac{z + z^{2} (1 + γ)}{2}) \prod_{k = 1}^{\infty} {{(1 + \frac{z}{k})}^{k} \exp (\frac{z^{2}}{2 k} - z)}

donde $γ$ es la constante de Euler–Mascheroni, exp(x) = e^x es la función exponencial, y Π denota multiplicación (productorio).

Como función entera, G es de orden dos, y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica dada a continuación.

Ecuación funcional y argumentos enteros

La función G de Barnes satisface la ecuación funcional

G (z + 1) = Γ (z) G (z)

con normalización G(1) = 1. Nótese la similidaridad entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la función Gamma de Euler:

Γ (z + 1) = z Γ (z) .

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros:

$G (n) = {\begin{matrix} 0 & si n = 0, - 1, - 2, \dots \\ \prod_{i = 0}^{n - 2} i! & si n = 1, 2, \dots \end{matrix}$

(en particular, $G (0) = 0, G (1) = 1$ ) y de este modo

G (n) = \frac{(Γ (n))^{n - 1}}{K (n)}

donde $Γ (x)$ denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define únicamente la función G si la condición de convexidad,

(\forall x \geq 1) \frac{d^{3}}{d x^{3}} \log (G (x)) \geq 0

es añadida.^[2] Adicionalmente, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación,^[3]

G (x) G {(x + \frac{1}{2})}^{2} G (x + 1) = e^{- \frac{1}{4}} A^{3} 2^{2 x^{2} - 3 x + \frac{11}{12}} π^{\frac{1}{2} - x} G (2 x)

G (\frac{1}{2}) = 2^{\frac{1}{24}} e^{\frac{3}{2} ζ^{'} (- 1)} π^{- \frac{1}{4}} .

↑ E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
↑ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL $(2, ℤ)$ , Astérisque 61, 235-249 (1979).
↑ Plantilla:Cite journal